专题03 三角形与圆（四大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题03 三角形与圆 【题型归纳目录】 题型一：三角形的“四心” 题型二：几种特殊的三角形 题型三：直线与圆的位置关系 题型四：点的轨迹 【知识点梳理】 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 知识点3：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 知识点4：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【题型归纳目录】 题型一：三角形的“四心” 题型二：几种特殊的三角形 题型三：直线与圆的位置关系 题型四：点的轨迹 【典例例题】 题型一：三角形的“四心” 例1．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N． (1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题 若，则______（直接写出结果） (2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论 (3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果） 例2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，将绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为且. (1)在旋转过程中，当落在线段上时，求的长； (2)连接、，当时，求； (3)在旋转过程中，若的重心为G，则的最小值=________. 例3．（2023·上海杨浦·统考一模）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G． (1)设，___________（用向量表示） (2)如果，，求边的长． 例4．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在中，，，，点从