第01讲：数与式的运算-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第一讲：数与式的运算 【教学目标】 1、掌握相反数，绝对值等数的意义； 2、掌握乘法公式的应用； 3、掌握根式，分式及不等式的意义和应用. 【基础知识】 一、绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 二、乘法公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 ． 三、二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式． 二次根式的意义： 四、根式 分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 五、不等式 一般地,用符号"<"（或"≤"）、">"（或"≥"）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。 【题型目录】 考点一：绝对值 考点二：乘法公式 考点三：二次根式 考点四：分式 考点五：不等式 【考点剖析】 考点一：绝对值 一个正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零． 例1．若，则的值为（ ） A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1 变式训练1．的绝对值是（ ） A． B． C．2 D． 变式训练2．下列说法，正确的是（ ） A．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近 C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 D．一个数的绝对值总是大于0 变式训练3．已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果为（ ） A． B． C． D． 考点二：乘法公式 平方差公式：；完全平方公式：. 例2．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．若，则的值为（ ） A．1 B． C． D．7 变式训练2．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（ ） A．1 B．0 C．1或－1 D．0或－2 考点三：二次根式 算术平方根：；平方根：. 例3．下列算式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．下列各数中没有平方根的数是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．下列选项正确的是（ ） A．0没有算术平方根 B． C．27的立方根是 D．不是最简二次根式 变式训练3．下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 考点四：分式 分式：即分母不为零；计算时，先去分母，变成整式计算. 例4．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．分式有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．化简的结果是（ ） A．m B． C． D． 变式训练3．下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 考点五：不等式 不等式性质：在不等式两侧同时加或减同一个数，不等号的方向不改变；在不等式两侧同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不改变；在不等式两侧同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 不等式解集：利用数轴，求解公共部分的解集. 例5．已知，则在下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．若，则下列式子错误的是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【课堂小结】 1．知识清单： (1)绝对值，乘法公式，二次根式，分式的计算． (2)不等式的数轴表示． 2．方法归纳：数与式的计算，数形结合． 3．常见误区：忽略绝对值，根式中的负值． 【课后作业】 1、冠状