专题01 数与式的运算、因式分解-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题01 数与式的运算、因式分解 【题型归纳目录】 题型一：绝对值 题型二：乘法公式 题型三：二次根式 题型四：分式 题型五：十字相乘法 题型六：提取公因式法与分组分解法 题型七：关于x的二次三项式的因式分解 【知识点梳理】 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 知识点5：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点6：首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点7：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点8：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【典例例题】 题型一：绝对值 例1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 例2．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，，则D点的位置（    ）    A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间 例3．（2023·广东佛山·统考三模）若，则（　　） A． B． C．2 D． 例4．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的倒数是（    ） A． B．2023 C． D． 题型二：乘法公式 例6．（2023·河南新乡·统考三模）下列运算正确的是