第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习归纳-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手高中数学必修第-册尺UA 单元复习归纳 口01知识网巧构建， 不等式的概念 不等关系与不等式 不等式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 一元二次不等式的概念 一元二次 三个“二次”（一元二次方程的根、二次函数的图象、一元二次不等式的解集） 不等式及 之间的关系 其解法 元二次不 利用三个“二次” 不含参数的一元二次不等式的解法 不等式 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 基本不等式的变式与拓展 若a十b=S(定值)，则当a=b时， 基本不等式：√ab≤ 最值与定值 ab取得最大值}s 求最值的 a+b(a≥0，b≥0） (a≥0，b≥0) 2 若b=G(定值)，则当a=b时， 常用方法 a十b取得最小值2√G 求实际应用问题的最值 基本不等式的应用 比较实数的大小 证明不等式 口02微转题妙总结 微专题1不等关系与不等式的性质 解析(1)方法一(x十y2)(x一y) 利用不等式的性质可以比较两个数或式 (x2-y2)(x+y)=(.x-y)[(x2+y2)-(x+ 子的大小，也可以证明不等式.另外，作差法、 y)2]=(x-y)(-2xy), 作商法也是常用的比较大小和证明不等式的 x<y0,∴.x-y0,-2xy<0, 方法。 .(x-y)(-2xy)>0, 例☐(1)设x<y<0,试比较(x2十y2)(x .(x2+y2)(x-y)>(.x2-y2)(x+y). 一y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 方法二x<y<0, (2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较ab x-y<0,x2>y2>0,x十y0, 与(ab)学的大小. .(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y)(x+ y)<0, 点拨]比较大小可用作差比较法或作商比 0g+)(x-2-2+y 较法 (x2-y2)(x+y)x2+y2+2.xy <1, 84 第二章一元二次函教、方程和不等式宝 .(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 例回解不等式：二，1(a≠1. x-2 (2).a>0,b>0, a6/>0,(ab)号>0. [点拨】本题考查分式不等式和含参数的不 等式的解法.可先将其转化为整式不等式，再 4学w学-行-(》 al 利用解一元二次不等式的知识求解，注意分类 讨论。 若a>b>0,则号>1a-b>0, 解析原不等式可化为4工)-1>0， x-2 () >1: 即a-1D-8)x-2>0. () 若>a>0,则0<分<1，a-6K0, )当a>1时，(*)式即为(x-日： () >1. (x-2)>0, 综上，arb>(ab)学. [点评1.作差法比较大小的步骤：(1)作 此时>2或日导 差；(2)变形：(3)判断差的符号；(4)结论， 2.作商法比较大小的步骤：(1)作商；(2)变 (②)当a<1时，(*)式即为（一日）： 形：(3)判断商与“1”的大小关系；(4)结论 (x-2)<0, 3.作差法的目的是判断差的符号，而作商 而2-42 法的目的是判断商与“1”的大小.两种方法的 a-1a-1 关键是变形，常用的变形技巧有因式分解、配 方、有理化等 ①若0a1.则子2， 4.当两个代数式的正负不确定且为多项 此时2<日二是 式形式时，常用作差法比较大小，当两个代数 ②若a=0,则(x一2)2<0，此时无解 式均为正且均为暴的乘积式时，常用作商法比 较大小 ③若a<0,则日子2，此时2子<2 'a-1 微专题2解含参一元二次不等式 综上所述， 对于可化为一元二次不等式的其他不等 式，常包括以下几种类型和解法： 当>1时，不等式的解条为r<日二昌 1.解高次不等式常用数轴标根法。 或x>2: 2.分式不等式是利用不等式同解原理将 其转化为整式不等式（组）求解的. 当0<a<1时，不等式的解集为x2< 3.指数、对数不等式是利用指数函数和对 数函数的单调性，将指数，对数不等式转化为等价 的代数不等式（组）求解的（会在第四章学到）， 当a=0时，不等式的解集为☑： 85 重雅点手细高中数学必修第一册RA 当00时，不等我的解集为侣子. y=m(x-2)十(x一2)（其中m为自变量），2≤ 点评1.在将分式不等式化为整式不等式 m≤3，问题转化为2<m≤3时，y恒大于0，则 的过程中，应注意分母的符号，不能将其乘到 另一边，正确的方法是移项、通分。 2r-2)+-2)0. 解得x>2或x<-1, 2.本题中，化为含参数的一元二次不等式 3(.x-2)十(x-2)2>0, 后，应先讨论二次项系数的符号，再讨论两个根 所以x的取值范围为{一1或x>2. 的大小关系，解题过程需有条不素，顺理成章， 方法3分离参数 微专题3不等式恒成立问题 例5(2023·湖北团风中学高一期中)已 方法1分类讨论 知二次函数y=a