重点01 平面向量最值（范围）问题及“四心”问题-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

重点01 平面向量最值（范围）问题及“四心”问题 题型一 最值（范围问题） 1.定义法 例1．设非零向量若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．已知平面非零向量满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 练习1．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习2．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则的最小值是________. 练习3．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____． 练习4．若，且，则向量与的夹角为________，的最大值为________． 练习5．已知是边长为1的正六边形内的一点，则的取值范围是__________. 2.基底法 例3．如图，在菱形ABCD中，，. (1)若，，求； (2)若菱形的边长为6，求的取值范围. 例4．已知是边长为2的等边三角形，D为边的中点，E为边上任一点（包括端点），F在线段延长线上，且． (1)当最小时，求的值； (2)求的取值范围． 练习6．已知正方形的边长为，为该正方形内切圆的直径，在的四边上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 练习7．菱形中，，点是线段上的动点（包括端点），则的最小值为__________. 练习8．如图，在中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足． （1）若，用向量，表示； （2）若，且，求的取值范围． 练习9．梯形中，，，，，点在线段上运动. (1)当点是线段的中点时，求； (2)求的最大值. 练习10．已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于_____． 3.坐标法 例5．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为__________，若点E是AB边上的动点，则的最大值为__________． 例6．已知在中，为平面内一点，则的最小值是__________. 练习11．如图，在四边形中，，，，且，.    (1)求实数的值； (2)若，是线段上的动点，且，求的最小值. 练习12．（多选）如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（    ）    A． B．实数的值为 C． D．若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为 练习13．在平面直角坐标系中，已知，，，为轴上两个动点，且，则的最小值为________. 练习14．在平面直角坐标系中，，，点在线段上运动，则的取值范围为___________. 练习15．在平面四边形中（如图所示），，若点为边上的动点，则的最小值为_____________；     题型二 “四心”问题 1.内心 例7．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 例8．在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 练习16．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习17．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 练习18．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ） A． B． C． D． 练习19．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为______． 练习20．已知点P为的内心，，若，则______． 2.外心 例9．如图，O为的外心，，，为钝角，是边的中点，则_________.    例10．在中，为的外心，则__________.若，则的值为__________. 练习21．已知O为的外心，，则（    ） A．的最小值为，此时为直角三角形 B．的最大值为，此时为直角三角形 C．的最小值为，此时为等边三角形 D．的最大值为，此时为等边三角形 练习22．设点O是的外心（外接圆圆心），，求的值． 练习23．在中，，O为三角形的外心，则为______． 练习24．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______. 练习25．在中，，，，为的外心，若，，，则______. 3.垂心 例11．在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 例12．已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________． 练习26．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习27．已知在中，，点为的垂心，则=________． 练习28．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为