第11章小专题2 三角形的重要线段之间的夹角问题-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（人教版）

志 学有鸿鹄志展翅任翱翔 《名师测控》 人教版一八年级上册数学 g击 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 Hubei honghuzhi Culture and Media.,LTD 鸭志 小专题二三角形的重要线段之间的夹角问题 学有鸿鹊志展翅任翱翔 志 类型① 三角形中两条高的夹角 1.如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC 边上的高，BE,CD相交于点O. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC 的度数； (2)求证：∠BOC+∠A=180°. B 学有鸿鹄志展翅任翻翔 志 解：(1)，CD⊥AB,BE⊥AC, .∴.∠BDC=∠BEC=90°. .∠ABC=50°，∠ACB=60°， .∴.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°， ∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， ∴.∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°- 30°=110°； 学有鸿鹊志展翅任朝翔 鸡志 (2).'∠BDC=∠BEC=90°， .∠ABE=90°-∠A, ..∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°= 180°-∠A, ∴.∠BOC+∠A=180°. E B 学有鸿鹊志展翅任翱翔 志 类型② 三角形同一条边上的高与角平 分线的夹角 2.如图，AD,AE分别是△ABC的角平分线和高 (1)若∠B=50°，∠C=60°，则∠DAE= (2)若∠C>∠B,求证：∠DAE=（∠C- ∠B). B DE 学有鸿鹊志展翅任翱翔 鸡志 (2).'AE是△ABC的高， ∴.∠AE℃=90°， ∴.∠EAC=90°-∠C .'AD是△ABC的角平分线， B DE ∠DAC-∠BAC .∠BAC=180°-∠B-∠C, ∴∠DAC= 2180-∠B-∠C0=90°-2 ∠B ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°- 2 ∠B 2∠C-(90°-∠C0=2(∠C-∠B. 学有鸿鹊志展翅任朝翔 志 【变式1】如图，已知在△ABC中，∠B<∠C, AD平分∠BAC,E为线段AD(除去端，点A, D)上一动点，EF⊥BC于点F. (1)若∠B=40°，∠DEF=10°，则∠C的度数为 (2)当E在AD上移动时，∠B,∠C,∠DEF之 间存在怎样的数量关系？请写出这个数量 关系，并说明理由. E 学有鸿鹊志展翅任翱翔 鸡志 (2)∠DEF=2∠C-∠B. 理由如下：.EF⊥BC, ∴.∠DEF=90°-∠EDF. ‘AD平分∠BAC,.∠BAD= 2∠BAC, ÷∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+2∠BAC 又.∠BAC=180°-∠B-∠C, ·∠EDF=∠B+2(180°-∠B-∠C)=90°+ ∠B∠C ÷∠DEF=90'-(90+2∠B-∠C)=2(∠C- ∠B). 学有鸿鹊志展翅任翱翔 志 【变式2】如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C ∠B,E为AD延长线上一点，且EF⊥BC于点F. (1)若∠B=40°，∠C=60°，则∠DEF的度数为 (2)由解答(1)的过程，试探索∠DEF与∠B, ∠C的数量关系，并说明理由. B 学有鸿鹄志展翅任翻翔