第04讲 常用逻辑用语（4种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第04讲 常用逻辑用语（4种题型） 【知识梳理】 一.命题的有关概念 在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命题通常用陈述句表述．其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．例如，“４能被２整除”是真命题，“３能被２整除”是假 命题． 二．充分条件与必要条件 1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立． 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 三．反证法 反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法． 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 四．反证法与放缩法证明不等式 放缩法 　 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． 反证法的步骤 1．作出否定结论的假设； 2．进行推理，导出矛盾； 3．否定假设，肯定结论． 【关键要点点拨】 放缩法证明不等式的主要理论依据 （1）不等式的传递性； （2）等量加不等量为不等量； （3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较． [注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出． 【考点剖析】 题型一.命题的有关概念 例1．（2022秋•奉贤区校级期中）“所有偶数都不是素数”是 　　命题．（填“真”或“假”） 【变式】（2021秋•普陀区校级期中）已知a是常数，命题p：存在实数x，使得|x|﹣a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为 　 　． 题型二．充分条件 例2．（2022秋•青浦区校级月考）已知α：x＜3m﹣1或x≥﹣m，β：x≤2或x＞3，若α是β的充分条件，求实数m的取值范围． 【变式1】．（2022秋•普陀区校级期末）设p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要． 【变式2】（2022秋•闵行区期末）已知集合A＝{x}，B＝{x2}，则“x＝1”是“A＝B”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3】（2022秋•金山区期末）设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“﹣1＜x＜5”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件