第七讲 集合间的基本关系（精讲）-2023年初高中数学衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第七讲 集合间的基本关系（精讲）（解析版） 【知识点透析】 一、子集与真子集的定义与表示 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅， 并规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、韦恩图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【注意】 （1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 （2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 【知识点精讲】 题型一 集合间关系的判断 【例题1】．（2022·四川绵阳高一单元测试）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D. 【详解】由题意得，集合．所以，B错误； 由于空集是任何集合的子集，所以A正确； 因为，所以C、D中说法正确． 故选：B． 【例题2】．（2022·山东泰安高一检测）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 【变式1】(2022•宝鸡市高一检测模拟）已知集合，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D．∅ 【答案】C 【解析】因为集合， 所以根据子集的定义可知，故选：C. 【变式2】（2022•山东济宁模拟）已知集合，则下列关系中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合， 中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误； 中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确； 中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误； 故选C． 题型二 子集、真子集、空集的概念 【例3】（2022·南京市第十三中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】．D 【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为：． 故选：D． 【例题4】．（2022·河南郑州高一期末）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数 【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}， ∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}， 则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个， 故选：B 【例5】（2023·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，