第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）-2023年初高中数学衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： (1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根： (2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根． 【知识点精讲】 【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ） A．35 B．30 C．26 D．21 【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． 【例2】已知实数、满足，试求、的值． 【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 【知识点精讲】 【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【例4】．已知关于x的方程. （1）若，方程两根分别为，，求和的值； （2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围. 【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值. 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2． (1)若，求m的值； (2)令T＝＋，求T的取值范围． 【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． 【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：，记，那么______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版） 【知识点透析】 1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： (1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根： (2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根． 【知识点精讲】 【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【解析】： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ） A．35 B．30 C．26 D．21 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可． 【详解】解：整理不等式组得： 由①得：， 由②得：x<4 ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0， ∴， 解得：， ∵有实数根， ∴ 解得：a≤9， ∵方程是一元二次方程， ∴a≠5 ∴，且a≠5， 满足条件的整数有：6、7、8、9； ∴6+7+8+9=30， 故选：B． 【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1