第一讲 因式分解的拓展（精讲）-2023年初高中数学衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第一讲 因式分解的拓展（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 【方法精讲】 一．提公因式法 提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来． 符号语言： 【例1】 因式分解． 【变式】 因式分解． 【例2】 计算． ． 【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知，，则________． 【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：； 二．公式法 公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下： （1）a2－b2=__；（平方差公式） （2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数）） （3）a3±b3=__； （立方和差公式） （4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式） （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数）） 【例3】 因式分解 ． 【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解： (1)； (2)． 【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下： 立方和公式： 立方差公式： 如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式. 根据以上材料，请完成下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）已知：的值 【变式1】 因式分解 ． 【变式2】分解下列因式 (1) (2) 【变式3】分解因式：(1) (2) 三．十字相乘法 十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式． 【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】 八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：． 【方法探究】 对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数． 所以 例如，分解因式： 它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5． 所以）． 类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解． 例如，分解因式：． 分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以． 【方法归纳】 一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即． 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 【方法应用】 利用上面的方法将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【变式1】 将下列各式分解因式 （1） ；（2）． 【变式2】（1）；（2）． 【变式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式. 【变式】（1）； （2）. 四、分组分解法 根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法） 【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． 【学以致用】 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【拓展应用】 已知：，．求：的值． 将下列各式分解因式 （1）；（2）． 【例9】分解因式： （1）；（2）． 【变式】（1）；（2）． 五．换元法 换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化 【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看