2023年全国中学生数学奥林匹克（贵州赛区）预赛试题

2023年全国中学生数学奥林匹克（贵州赛区）预赛试题 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合A={(x,y)川x+y=},B={K,y)川x2+y=2},C=A∩B,则集合C的子集的个数 是】 2.已知z为虚数，且z2=,则z3= 3.已知a,b是单位向量，|3a+4hH4a-3b川，若|c=2,则a+b-c|的最大值是 4.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，设二面角P-AB-C,P-BC-A, P-CA-B的大小分别为a,B,7,则sina+sinA+sim之 cos2a+cos B+cos* 5.△ABC的三边分别为a,b,c,记BC,CA,AB边上的中线长分别为m。,m。,m。,则 匹++的最小值是 6设a,beN,且满足L1-1 ,则所有正整数对(a,b)的个数为 ab2023 7.已知函数fx)=x2-2x2-3x+4,若f(a)=fb)=f(c),其中a<b<c,则 a2+b+c2= 8.已知5名同学分别擅长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷（语文、数学、物 理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自 己擅长的学科不符的概率是 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.(本题满分16分)设{a,}是正项等差数列，公差为d(d>0),，前n项和为S.,m,n,p,9 均为正整数.若n<p<m,n<q<m,且m+n=p+g,证明： (1)aa.<aa,: (2)S+S>S,+S,. 10.(本题满分20分)如图1，设P是四边形ABCD内一点，满足 ∠BPC=2∠BAC,∠PCA=∠PAD,∠PDA=∠PAC. 求证：∠PBD=∠BCA-∠PCA: 图1 1山，（本题满分20分）定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数 列.已知数列{比，}满足。=0，无=3，x1+x+=4红，证明：{比x1+9}是一个完方数列。