热点08 图形与几何-辅助线专题-2022-2023学年七年级数学下学期期末复习热考题型专练（北师大版）

热点08 图形与几何-辅助线专题 1.辅助线构造平行：在我们常说的“燕尾”、“猪蹄”、“铅笔”模型中运用构造平行线、三角形的辅助线进行解题；一般都可以通过过“拐”点作平行线的方式来解决。 在日常应试中，通常与三角形等知识结合命题，主要是考查数学中几何转化的思想方法。辅助线构造方式如图： 2.辅助线构造全等：根据已有条件联系相关知识，通过辅助线构造出新的对应边相等、对应角相等的条件，解决线段和角度的关系问题 ①倍长中线：利用中点将已知边平分，延长中线的一倍构造全等； 如图： （直接倍长） （间接倍长） ②作平行线构造全等： ③作垂线构造全等：利用图中已有的垂直条件和相等线段，作某一边的垂线，构造全等的直角三角形； ④截长补短构造全等； ⑤角平分线、垂直平分线中的全等构造：角平分线上的点到角的两边对应点上可构造全等三角形，垂直平分线上的点到两端线段的对应点上可构造全等的直角三角形； 角平分线上的全等： 垂直平分线上的全等： ⑥旋转图形构造全等，将图形旋转一定角度得到的新图形与原图形全等。 3.等腰、等边三角形中的辅助线：与“三线合一”的性质有关的辅助线、三条中线、三条高线、三条角平分线的辅助线作图 等边三角形“三线合一”图例： ·例题精讲 【考点1 辅助线构造平行】 例1．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2 辅助线构造全等】 ①倍长中线+截长补短法构造全等： 例2．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． ②作平行线（截长）构造全等： 例3．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． ③作垂线构造全等： 例4．已知如图，，，，，、交于点．求证：；    ④角平分线中的全等构造（含截长补短法）： 例5．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． ⑤旋转图形构造的全等（含截长补短法）： 例6．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 2．如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于____度． 3．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 4．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．