第一章 第2课时 空间向量的数量积运算-【玩转假期必刷题】2024年高一数学暑假作业

第2部分旗开得胜：预习高二新课$ 第2课时空间向量的数量积运算 ↓新课内容学习 (2@.B=2B丽.B所=B可1BA 新课程标准 素养风向标 co(BD,Bi=2os60=是 1.能根据平面向量的数量 积，掌握空问向量的数量积 ②E萨.Bi=号Bi.B币=2Bie=2 (数学抽象). ③E.Dc=号B.Dc--号Di.Dc- 1.掌握空问向2.能够运用空间向量的数量 量的数量积. 积判断空间向量的共线与垂 2×cos60r=-1 2.了解空问向 直（数学运算）. ④AB·CD=AB.(AD-AC)=AB.AD 量投影的概念 3.能用向量的方法证明有关 以及投影向量 线、面位置关系的一些定理 AB·AC 的意义 (逻辑推理) -ABIIADI Cos<AB,AD>-1ABIIACI cos 4.借助平面向量的投影，了 AB,AC=cos60°-cos60°=0. 解空间向量投影的概念及投 知识点二利用空间向量积证明垂直问题 影向量的意义（直观想象） 【典例2】如图，在正方休ABCD-A,B1C1D 知识点一空间向量数量积的运算 中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点. 【典例1】(1)已知正四面体DABC的各棱长 求证：A,O⊥GBD. 为1，点E是AB的中点，则EC·AC的值为 () A c D.- 解析设A1B1=a,A1D1=h,A1A=c,则a 4 b=0,a·c=0,b·c=0. (2)如图所示，在棱长为1的正 四面体ABCD中，E,F分别是 而A0=A+A0=A+2(A店+A可 AD,AB的中点，求值：①E c+z(a+b).BD-AD-AB-b-a. ·BA:@EF.BD: ③EF·DC:④AB·CD. OG-0C+CG-(AB+AD)+CC- 解(1)选A.由题意，四面体DABC是正四 (a+b)-专c,所以Ad·B而= 面体，每个面都是正三角形，所以EC·AD= (AC-AE).AD-AC.AD-AE.AD-1 (c+za+zb).(b-a)-c:(b-a)+z(a +b)·(b-a) X1Xcos60-2×1Xc0s60°= =c…b-c…a+2w-a)=号b12-a ·53· 帝必必刷题·数学 ww 12)=0. BA.BC-BB BA-BB BC-0, 所以A1O⊥BD,所以A,O⊥BD. 所以BA·AC=BA2=-1. 同理可证A1(OL(OG, 又|AC=2,1BA1I=/1+2=3, 所以A1OLO3 又(OG∩BD=(O且A1()灯平面BDG, 所以cos(BA,AC)= BA·AC =1 1BA:IIAC√6 所以A1O⊥平面GBD. 知识点三求空间向量的模和夹角 6, 【典例3】(1)如图，在平行六面体ABCD 所以向量BA:与向量AC夹角的余弦值为 A1BCD1中，底商是边长为1的正方形，若 ∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3,则A1C 6 的长为 () 答案 (1)A(2)-E 6 知识点四空间向量的投影问题 【典例4】(1)已知空间向量a,b满足|a|=3, |b1=2,H(a-2b)·(a+b)=5,则a在a+b A.5 B.2√2 上的投影为 C./14 D./17 (2)已知向量a,b满足(a十2b)·(a-b)= (2)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， -6,且|a=1,|b川=2，则a在b上的投影向 ∠ABC=90°，AB=BC=1,AA1=√2，向量 量为 BA1与向量AC夹角的余弦值为 解析(1)由题意，根据向量的数量积的运算 公式，可得(a-2b)·(a+b)=a2-a·b 2b2=5,可得a·b=-4, 所以|a+b|=√(a+b)2=√a2+2a·b+b =√5， 关键技巧 找出BA,AC与BA,BC,BB之 又由：at0-9-二4=5，即a在a+b上 1a+b√5 间的关系，先求出BA1·AC,然后求出|AC, 的投影为√5. BA1l,利用公式求解。 (2)设a与b的夹角为0，因为向量a,b满足 解析因为A,C=AB,+A1D,+AA. (a+2b)·(a-b)=-6,且|a=1,|b1=2, 所1A1C8=(AB+AD+A1A)2 所以a2十a·b-2b2=-6,所以a·b=1.所 =|A1B22+|A1D12+|A1A12+2(A1B a·b 以og=6=立，再由9的范国为 A1D1+A1B1·A1A十A1D1·AA)=1+1 +9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos120) [0,小，可得9=音，则a在b上的授影向量为 =5.故41C的长为√5. 1Xos吾10=6 (2)周为BA1=BA+AA=BA+BB,AC 答案 (1w5(2)b BC-BA, ·54· 第2部分旗开得胜：预习高二新课鲁 ↓新课随堂>演练 1.对于向量