1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 异面直线所成角的向量求法 题型02 线面角的向量求法 题型03 二面角的向量求法 题型04 点到平面的距离的向量求法 题型05 两平行平面间的距离的向量求法 题型06 点到直线的距离的向量求法 题型07 求空间中两点间的距离 B组 能力进阶 题型01 已知线线角求其他量 题型02 已知线面角求其他量 题型03 已知二面角求其他量 题型04 利用空间向量求空间角 C组 思维拔高 题型01 异面直线的距离的向量求法 题型02 空间线段点的存在性问题 异面直线所成角的向量求法题型01 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断. 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 2．（25-26高二上·山西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【详解】（1）因为是的中点， 所以. （2）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.             因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 3．（24-25高二上·浙江宁波·月考）如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量与； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案. （2）设异面直线与所成角为，将用基底，，表示，代入公式计算得出答案. 【详解】（1）在正四面体中，，分别为棱，的中点， 则， ； （2）由（1）知，，. 又，设异面直线与所成角为， 则 . 线面角的向量求法题型02 1．（25-26高二上·河南·联考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 2．在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明是平面的法向量后，可得直线与平面所成角的正弦值即为与所成角的余弦值，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】 连接，为的中点， ， ， ， ， 故 ； ， 又 ， 又 ， 故， 又、平面，且， 故平面，即是平面的法向量， 设与平面ABCD所成角为 所以 故选：B. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 4．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 【答案】 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 二面角的向量求法题型03 1．（24-25高二上·山东·联考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【答案】(1) ∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． (2)60° 【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角. 【详解】（1）略 （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 3．（24-25高二上·福建·期中）如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 【答案】(1) 在平面内过作，而平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设， 设平面的法向量，则， 令，得， 而平面的法向量为， 因为平面平面，则，解得， 于是，而，则，所以. (2) 【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证. （2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围. 【详解】（1）略 （2）设点，显然，， 设平面的法向量，则， 令，得， 由（1）知，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 于是， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围. 4．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求证：平面； (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值． 【答案】(1) 如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， 因为，平面 所以MN//平面BCE. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面角，利用向量法求余弦即可, 【详解】（1）略 （2）； 当时，最小，最小值为；此时，为中点时，最短， 则，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是二面角的平面角． ，， ． 二面角的余弦值是． 点到平面的距离的向量求法题型04 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法，即公式，求点面距离即可得解. 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 2．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ） A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21 【答案】C 【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可. 【详解】，而，     即， 解得或－11. 故选：C 3．如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 【答案】. 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解；或利用等体积法及锥体的体积公式结合条件即得. 【详解】方法一：如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，即， 点到平面的距离为； 方法二：如图，连接， 则， 又在中，， ， 设点到平面的距离为h，则， 解得， 点到平面的距离为. 4．（25-26高二上·浙江温州·期中）在空间直角坐标系中，不过原点的平面分别交坐标轴于点，，，点是在上的射影．求证： (1)是的垂心； (2)． 【答案】(1)    由题意知 所以， 则，即． 同理，所以是的垂心； (2) 由，，，得： 设为平面的一个法向量，则   令，则，即． 所以． 【分析】（1）利用数量积为0来证明线线垂直，可证明垂心； （2）利用空间向量法来求点到面的距离，即可求得. 【详解】（1）略 （2）略 两平行平面间的距离的向量求法题型05 1．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 2．（25-26高二上·新疆·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 3．底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 【答案】(1)取的中点，连接，则平面即为所求平面. (2) 【分析】（1）取的中点，则平面即为所求平面.（2）连接,交于，则，分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的距离. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面. 证明：由,平面，平面，可得平面. 由，平面，平面，可得平面. ,平面，平面,故可得平面平面，即平面. （2）如图，连接,交于， 在直棱柱中，底面为菱形， ， 分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系， 又所有棱长为2， ， ，， 设是平面的一个法向量，则，即 令得，， 点到平面的距离， 平面与平面的距离. 点到直线的距离的向量求法题型06 1．（24-25高二上·安徽·联考）已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由题意直线的方向向量，，则， ，，所以点到直线的距离为 ， 故选：B. 2．已知直线l过点，和l垂直且与l的方向向量、共面的一个向量为，则到l的距离为（    ） A．14 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的定义以及数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】根据题意可知， 显然在向量上的投影长度即为到l的距离， 所以点到l的距离为. 故选：C 3．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【答案】## 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 4．（25-26高二上·福建·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 【答案】(1) 由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出夹角的余弦，进而求出点到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）取的中点，由为正三角形，得， 过作与交于点，则，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此，， 所以点到直线的距离为.    求空间中两点间的距离题型07 1．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合平面，可以求出点的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段长度的最小值. 【详解】以为空间直角坐标系的原点，以为轴. 设，，则， ，因为平面， 所以，所以 线段长度为：，当时，有最小值，其值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了利用配方法求线段的长的最小值，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力. 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 【答案】(1) 因正方体的棱长为1， 所以，而是线段的中点，因此. 由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以. 在直角三角形中，是其斜边上的中线，故. 由勾股定理得，. 因此，， 故是直角三角形，其中，故. (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值； （3）根据空间坐标系中两点距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，. ，. 设直线与所成角，则. （3）. 3．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度． 【答案】(1) 因为平面平面，，，，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以. (2) (3) 【分析】（1）由面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （3）依题意可得，设，表示出，再根据数量积的坐标表示得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，是正方形， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以点到平面的距离. （3）因为过点与垂直的平面交直线于点，所以， 设，因为，所以， ， 所以， 所以，解得， 所以. 已知线线角求其他量题型01 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（    ） A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积. 【详解】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设. 依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点， 所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接， 则与上下底面垂直，所以， 以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则 ， 所以， 由于异面直线和所成的角的余弦值为， 所以， 即. 所以几何体的体积为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题. 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1) 连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，则为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理即得证； （2）取线段的中点，连如图建系，设，其中，运用空间向量法求出的值，再结合模的公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 已知线面角求其他量题型02 1．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 2．如图，在直三棱柱中，平面，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求. 【答案】(1)由平面，平面，可得， 在直三棱柱中， 平面 ，平面，则 ， 又，平面，所以平面， 又平面，可得. (2) 【分析】（1）由线面垂直分别推得，，再由线线垂直证明线面垂直，最后利用线面垂直的性质即可证得； （2）根据（1）的结论，建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，可得. 因四边形是矩形，故四边形是正方形，则， 由（1）已得 平面，， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，故， 由题易知平面的一个法向量为， 则， 解得，因，则. 3．（24-25高二上·云南·月考）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.    (1)若平面平面，证明：； (2)若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明: 由题知，平面平面，平面平面， 因为H为圆周上一点，且NF为直径， 所以，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. (2)1 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及圆的性质，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，设，进而可得，，坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，列出等式，可求得m，n的值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为x、y、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，    所以，，， 设，则， 所以，，， 设平面的法向量， 则， 所以， 令，则可取法向量， 设直线与平面所成线面角为， 所以 . 所以，解得，或，（舍）， 所以，则. 4．如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明：由题意知为等腰直角三角形，又为的中点，所以，，， 由，解得， 当时，有，即， 而平面，故平面； (2)或 【分析】（1）依题意可得，利用余弦定理求出，即可得到，从而得证； （2）以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用余弦定理求出，即可求出点坐标，求出平面的法向量，设，表示出点坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出，再由坐标法求模即可. 【详解】（1）略 （2）以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又， 所以 所以，，所以，    于是， 设平面的法向量为， 则，不妨取，解得， 设，则，， 因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面和平面的交线为，平面， 所以，又为上异于的一点，所以，即与共线， 设为，则， 故， 因此. 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或， 当时，则， 当时，则， 因此或. 已知二面角求其他量题型03 1．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 2．如图，在直四棱柱中，，，，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，，利用向量法表示出二面角的余弦值，即可得到，则，即可求出的最大值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，， 则，，. 设平面的一个法向量为，则，令，则，， 所以，显然为平面的一个法向量， 因为平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°， 所以，即， 所以，所以当时，取得最大值， 故选：C 【点睛】本题考查了立体几何中的二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 3．在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________. 【答案】8 【分析】从分别向直线作垂线，利用向量求解长度. 【详解】如图，分别作垂直于直线于点，则由等腰直角三角形的性质可得，即. 若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则， 因为二面角的大小为，所以，代入上式可得， 所以，即的长度为. 故答案为：8. 4．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1) 如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，    所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. (2)2 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到答案； （2）建系，设，借助于空间向量表示平面与平面的夹角的余弦值，进而求出，即得答案. 【详解】（1）略 （2）连接，因为为等边三角形，则.    所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则， 取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得. 又，所以线段CF的长为2. 利用空间向量求空间角题型04 1．（24-25高二上·山东·质检）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，借助直线方向向量的夹角公式即可求解； 【详解】折起后的图形如下所示， 连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，，，，，， ；，. 故选：B 2．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 3．已知点为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为_________． 【答案】## 【分析】取线段的中点，可得出，分析可知当、、三点共线时，取最小值，求出的最小值可得可得解. 【详解】取线段的中点，则，， 因为，所以在以为球心的正方体内部的球面上，    所以，， 当、、三点共线时，取最小值， 此时， 此时， 所以，所以与的夹角为. 故答案为：. 异面直线的距离的向量求法题型01 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 2．（25-26高二上·广东汕头·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 3．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________. 【答案】## 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    4．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且. (1)求证：平面平面； (2)求证：是直线与的公垂线； (3)求异面直线与的距离. 【答案】(1)建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ， 所以，所以平面， 由于平面，所以平面平面. (2)， ， 所以是直线与的公垂线. (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面. （2）利用向量法证得是直线与的公垂线. （3）利用向量法求得，也即异面直线与的距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）. 所以异面直线与的距离为. 空间线段点的存在性问题题型02 1．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围. 【详解】设是的中点，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设；设， 则， 设与所成角为，则， ， 整理得， 函数的开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 2．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：当为的中点时，取中点为，连接， 因为分别为的中点，故可得， 根据已知条件可知：，故， 故四边形为平行四边形，则， 又平面平面， 故面； (2)不存在，理由如下： 因为平面平面，故， 又四边形为矩形，故，则两两垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，设， 若，则， 即，解得，不满足题意， 故不存在. 【分析】（1）取中点为，通过平行关系证明四边形为平行四边形，再结合线面平行的判定定理完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可. 【详解】（1）略； （2）不存在，理由略. 3．（24-25高二上·广东佛山·月考）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.记，，. (1)求与夹角的余弦值. (2)线段上是否存在点，令，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，. 【分析】（1）由及和即可求解； （2）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ， 又， ，， ，， ，， ，即与夹角的余弦值为. （2）当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即， 由解得，，， 故存在点且. 4．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点． (1)求证：； (2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如图，连接，DB，在长方体中， ∵底面ABCD，底面ABCD， ∴． 又，， ∴平面，又平面， (2)存在，. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）略 （2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面所成角为45°． 设，如图，以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． ∴，，． 设平面的法向量为， 则令，则，． ∴平面的一个法向量为． ∴，解得． ∴存在这样的点E，当时，直线AC与平面所成角为45°． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 异面直线所成角的向量求法 题型02 线面角的向量求法 题型03 二面角的向量求法 题型04 点到平面的距离的向量求法 题型05 两平行平面间的距离的向量求法 题型06 点到直线的距离的向量求法 题型07 求空间中两点间的距离 B组 能力进阶 题型01 已知线线角求其他量 题型02 已知线面角求其他量 题型03 已知二面角求其他量 题型04 利用空间向量求空间角 C组 思维拔高 题型01 异面直线的距离的向量求法 题型02 空间线段点的存在性问题 异面直线所成角的向量求法题型01 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 3．（24-25高二上·浙江宁波·月考）如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量与； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 线面角的向量求法题型02 1．（25-26高二上·河南·联考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 4．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 二面角的向量求法题型03 1．（24-25高二上·山东·联考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 3．（24-25高二上·福建·期中）如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 4．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求证：平面； (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值． 点到平面的距离的向量求法题型04 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ） A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21 3．如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 4．（25-26高二上·浙江温州·期中）在空间直角坐标系中，不过原点的平面分别交坐标轴于点，，，点是在上的射影．求证： (1)是的垂心； (2)． 两平行平面间的距离的向量求法题型05 1．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 3．底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 点到直线的距离的向量求法题型06 1．（24-25高二上·安徽·联考）已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l过点，和l垂直且与l的方向向量、共面的一个向量为，则到l的距离为（    ） A．14 B．5 C． D． 3．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 4．（25-26高二上·福建·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 求空间中两点间的距离题型07 1．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 3．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度． 已知线线角求其他量题型01 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（    ） A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 已知线面角求其他量题型02 1．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图，在直三棱柱中，平面，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求. 3．（24-25高二上·云南·月考）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.    (1)若平面平面，证明：； (2)若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 4．如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 已知二面角求其他量题型03 1．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 2．如图，在直四棱柱中，，，，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 3．在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________. 4．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 利用空间向量求空间角题型04 1．（24-25高二上·山东·质检）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为_________． 异面直线的距离的向量求法题型01 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·广东汕头·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________. 4．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且. (1)求证：平面平面； (2)求证：是直线与的公垂线； (3)求异面直线与的距离. 空间线段点的存在性问题题型02 1．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是______. 2．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·广东佛山·月考）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.记，，. (1)求与夹角的余弦值. (2)线段上是否存在点，令，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由. 4．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点． (1)求证：； (2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $