3.2 函数与方程、不等式之间的关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版)

高中数学·1·① ∴y =x2+f(x)既不是奇函数也不 是 偶 函 数. 对 于 D,g(- x)= (-x)2f(-x)= -x2f(x)= -g(x), ∴y =x2f(x)是奇函数.故选B. 第2课时 函数的奇偶性(二) 课前篇·自主预习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋知识梳理􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 知识点 1.0 2.奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋问题初探􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、答一答 提示:不一定,如 f(x)=x2,满足 f(0)=0,但它是偶函数. 二、练一练 1.B 由 奇 函 数 的 定 义 知,f(-1)= -f(1)=2,故有f(3)<f(-1). 2.D 因为奇函数f(x)在[1,3]上为增 函数,且 有 最 小 值0,所 以 f(x)在 [-3,-1]上是增函数,且有最大值0. 3.A 由题意可知,函数的图象如图: 可知f(2)>0>f(4). 课堂篇·互动学习 例1:(1)A (2)-4 解析:(1)方法一:令g(x)=ax3 + bx,易 知 g(x)是 奇 函 数, 从 而 g(-2)= -g(2). 由f(x)=g(x)-6,得f(-2)= g(-2)-6=8,∴g(-2)=14, ∴g(2)= -g(-2)= -14, ∴f(2)=g(2)-6= -14-6= -20. 方法二:由已知条件,得 f(-2)=a×(-2)3+b×(-2)-6 ①, f(2)=a×23+b×2-6 ②, ①+② 得f(2)+f(-2)= -12. 又f(-2)=8,∴f(2)= -20. (2)由f(x),g(x)均为 R 上的奇函 数,知af(x)+bg(x)为 R上的奇函 数.由F(x)=af(x)+bg(x)+2在 (0,+∞)上的最大值为8,得F(x)- 2=af(x)+bg(x)在(0,+∞)上的 最大值为6.根据奇函数的性质可知 F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞, 0)上 的 最 小 值 为 -6,故 F(x)= af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上的最 小值为-6+2= -4. 变式训练1:3 解析:由 题 意 知 f(-1)+g(1)= -f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)= f(1)+g(1)=4,两 式 相 加,解 得 g(1)=3. 例2:解:(1)当x <0时,-x >0, ∴f(-x)= (-x)2-2(-x)-3= x2+2x-3. ∵ 函数f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴ 当x <0时,f(x)=x2+2x-3. (2)当x <0时,-x >0, ∴f(-x)= -(-x)+1=x+1, 又函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)= -f(x)=x+1. ∴ 当x <0时,f(x)= -x -1.当 x =0时,f(0)=0. 综上可得,f(x)的解析式为 f(x)= -x+1,x >0, 0,x =0, -x-1,x <0. 变式训练2:解:设x <0,则-x >0, ∴f(-x)= (-x)3 +(-x)+1= -x3-x+1. ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(x)= -f(-x)= -(-x3-x+ 1)=x3+x-1. 又f(0)=0. 综上所述, f(x)= x3+x+1,x >0, 0,x =0, x3+x-1,x <0. 例3:解:∵f(x)是奇函数, ∴f(1-a2)= -f(a2-1). ∴f(1-a)+f(1-a2)<0 ⇒f(1-a)<-f(1-a2) ⇒f(1-a)<f(a2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递 减的, ∴ 1-a>a2-1, -1<1-a<1, -1<a2-1<1, 解得0<a<1. ∴ 实数a的取值范围为(0,1). 变式训练3:解:∵f(x)在区间(-∞,0) 内是减函数, ∴f(x)的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的图象关于原点成中心对称, 则在y轴右侧同样递减,且f(x)<0. 又f(-0)= -f(0),解得f(0)=0, ∴f(x)的图象在R上递减. ∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a), ∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1, 即实数a的取值范围为(1,+∞). 检测篇·达标小练 1.A 根据题意,函数f(x)为偶函数, 则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对 任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 f(x2)-f(x1) x2-x1 <0,则函数f(x)在 [0,+ ∞)上 为 减 函 数,则 f(3)< f(2)<f(1).又由f(-2)=f(2),则 f(3)<f(-2)<f(1). 2.C 根据题意,x <0,则 -x >0,则 f(-x