3.1.2 函数的单调性(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版)

第三章　函数　　　　　　　 个函数图象交点的横坐标.因此其方程的解的个数等 于两图象的交点的个数.同样f(x) <g(x) 的解集 即为函数y=g(x) 的图象在y=f(x) 图象上方的点 的横坐标构成的集合. 变式训练 已知f(x)= x2+1,x≥0, 1,x<0, 则满足不等式f(1-x)>f(x)的x 的取值范 围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.1.2 函数的单调性 [课标解读]1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解单调性的作用和实际意义.3.借助函数的图 象，会用符号表达函数的最大值、最小值.4.理解函数的最大值、最小值的作用和实际意义. [素养目标]水平一:1.能从教材实例中抽象出函数单调性的概念.(数学抽象)2.能从教材实例中归纳出证明函数单 调性的步骤.(数学运算)3.能从教材实例中抽象出函数的最大值、最小值的概念.(数学抽象)4.能从教 材实例中了解函数平均变化率的概念.(数学抽象)5.能利用函数的平均变化率证明函数的单调性，会求 简单函数的值域.(逻辑推理) 水平二:1.能利用定义证明函数的单调性，能利用函数的单调性解决相关的不等式问题.(逻辑推理) 2.能利用函数的单调性求简单函数的值域，会用函数的平均变化率证明函数的单调性.(逻辑推理) 第1课时 　 单调性的定义与证明(一) 增函数与减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且 I D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时, 都有f(x1) f(x2),则称y=f(x)在I上 是 函数(也称在I上单调递增),如图(1)所 示; (2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时, 都有f(x1) f(x2),则称y=f(x)在I上 是 函数(也称在I 上单调递减),如图(2) 所示. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间I 上是增函数或 是减函数,就说这个函数在这个区间I 上具有 (区间I称为 ). 一、答一答 1.若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为 “存在x1,x2”可以吗? 2.“函数y= 1 x 在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上 是减函数”是否正确? 二、练一练 1.如图是函数y=f(x)的图 象,则函数f(x)的单调递减 区间是 ( ) A.[-1,0] B.[1,+∞) C.[-1,0]∪ [1,+∞) D.[-1,0],[1,+∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 2.下面关于函数f(x)=1- 1 x 的说法正确的是 ( ) A.在定义域上是增函数 B.在(-∞,0)上是增函数 C.在定义域上是减函数 D.在(-∞,0)上是减函数 3.函 数 y =|x -1| 的 单 调 递 增 区 间 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用定义证明函数的单调性 [例1] 判断函数f(x)= 1 x2-1 在区间 (1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明. 学生试答: 利用定义证明函数单调性的步骤如下: (1) 取 值:设x1,x2 是该区间内的任意两个值,且x1 <x2; (2) 作差变形:作差f(x1) -f(x2),并通过因式分 解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的 式子;(3) 定号:确定f(x1)-f(x2) 的符号;(4) 结 论:根据f(x1)-f(x2) 的符号及定义判断单调性. 变式训练1 证明函数y=x+ 9 x 在(0,3] 上单调递减. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用图象求单调区间 [例2] 求下列函数的单调区间: (1)y=|x2+2x-3|; (2)y=-x2+2|x|+1. 学生试答: 图象法判断函数单调性的注意点 凡能作出函数图象的单调性问题,都可应用图象 法;主要用于熟悉的常见函数(如一次函数、二次函 数、反比例函数等) 的单调性判断,或应用于能通过常 见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数图象的 函数单调性的判断. 变式训练2 已知x ∈R,函数f(x)= x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图