2.2.4 均值不等式及其应用(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版)

第二章　等式与不等式　　　　　　　 即 -1<m <3, 5m2-14m-3<0, 解得- 1 5<m <3. 综上所述,实数m 的取值范围是 - 1 5 ,3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 不等式在某区间上恒成立问题 设y=ax2+bx+c(a≠0). (1)a>0时,y<0在区间[α,β] 上恒成立 ⇔ 二 次函数在区间两个端点处的函数值均小于零; (2)a<0时,y>0在区间[α,β] 上恒成立 ⇔ 二 次函数在区间两个端点处的函数值均大于零; (3)y>0在区间[α,β] 上恒成立 ⇔[α,β] ⊆A, 其中A 是y>0的解集. 变式训练 已知y=3x2+bx+c,不等 式y>0的解集为(-∞,-2)∪ (0,+∞). (1)求函数的解析式; (2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3 恒成立,求实数m 的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2.4 均值不等式及其应用 [课标解读]掌握均值不等式a+b 2 ≥ ab(a,b>0).结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值 问题. [素养目标]水平一:1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.(数学抽象)2.能够 利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.(逻辑推理、直观想象)3.明确均值不等式的 形式及等号成立的条件，会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.(逻辑推理、数学运算) 水平二:掌握均值不等式，学会灵活变换条件使用均值不等式解决最值问题.(逻辑推理、数学运算) 第1课时 　 均值不等式 均值不等式 (1)如果 ,那么 ,当且仅当 时,等号成立.此结论通常称为均值不等 式,也称为基本不等式. (2)给定两个正数a,b,数 称为a, b的算术平均值,数 称为a,b的几何平 均值.因而,均值不等式可叙述为:两个正实数 的算术平均值 它们的几何平均值. 一、答一答 1.如何证明均值不等式? 2.从几何角度如何解释均值不等式? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 053 二、练一练 1.“x >0,y>0”是“yx + x y ≥ 2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立 的是 ( ) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab C.1a+ 1 b > 2 ab D.ba + a b ≥2 3.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最 大的是 ( ) A.12 B.b C.2ab D.a2+b2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 均值不等式的理解 [例1] (1)设0<a<b,则下列不等式中 正确的是 ( ) A.a<b< ab < a+b 2 B.a< ab < a+b 2 <b C.a< ab <b< a+b 2 D.ab <a< a+b 2 <b (2)不等式a+1≥2a(a>0)中等号成 立的条件是 ( ) A.a=0 B.a= 1 2 C.a=1 D.a=2 学生试答: 在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三 相等”. 一正,a,b均为正数; 二定,不等式一边为定值; 三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解. 变式训练1 下列不等式的证明过程正确 的是 ( ) A.若a,b∈R,则 b a + a b ≥2 b a ·a b =2 B.若x,y∈R,则 x+ 4 y =| x|+ 4 |y|≥ 2 |x|· 4 |y| C.若x 为负实数,则x+ 4 x ≥-2 x ·4 x =-4 D.若x ≠0,则x2+ 1 x2 ≥ 2 x2·1 x2 = 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用均值不等式比较大小 [例2] 若a≥b>0,试比较a, a2+b2 2 , a+b 2 ,ab, 21 a+ 1 b