2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版)

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [课标解读]1.会求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程根与系数的关系. [素养目标]水平一:1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.(数学抽象)2.会熟练应用 公式法解一元二次方程.(数学运算)3.探索一元二次方程根与系数的关系，并且能用关系熟练解题.(数 学抽象、数学运算) 水平二:在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习 惯.(逻辑推理) 一元二次方程的解集 关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c= 0(a≠0)利用配方法,总可以写成 x+ b 2a 2 = b2-4ac 4a2 ,其中Δ=b2-4ac. (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程的解集为 ; (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程的解集为 ; (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程的解集为 . 一元二次方程根与系数的关系 关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两 根 为 x1,x2, 则 x1 + x2 = , x1x2= . 一、答一答 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求 根公式x = - b± b2-4ac 2a 适合用于所有 的一元二次方程吗? 2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时, 需要注意什么条件? 二、练一练 1.方程(x+1)2-1=0的解集为 ( ) A.{-1,1} B.{-2,2} C.{0,2} D.{0,-2} 2.方程x2-12x+35=0的解集为 . 3.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-5=0的 两个实数根,则x21+x22+3x1x2= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求一元二次方程的解集 [例1] 用适当的方法求下列方程的解集: (1)x2-2x-8=0;(2)2x2-7x+6=0; (3)(x-1)2-2x+2=0. 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 第二章　等式与不等式　　　　　　　 1.解一元二次方程时,首先考虑用直接开平方法或因 式分解法求解,如果不能用这两种方法,再考虑用 公式法或配方法. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤: (1) 移项:将方程化为一般形式. (2) 分解:将方程的左边分解为两个一次式的乘积. (3) 转化:令每个一次式分别为0,得到两个一元一 次方程. (4) 求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是一 元二次方程的解. 变式训练1 求下列方程的解集: (1)4x2-4x-1=0;(2)x2+3x+1=0; (3)x2-7x+10=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 转化为一元二次方程求解集 [例2] 求下列方程的解集: (1)(x2-5x)2-2(x2-5x)-24=0; (2) (x-1)2 x2 - x-1 x -2=0 ; (3)3x2+15x+2 x2+5x+1=2. 学生试答: 解复合型一元二次方程,利用换元法整体代换, 转化为一元二次方程求解,求出新未知数后再求原来 的未知数.若涉及到根式问题,注意检验,以防产生 增根. 变式训练2 求下列关于x 的方程的 解集: (1)x-4 x -3=0; (2)2x4-3x2-1=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根与系数的关系的应用 [例3] 已知α,β 是一元二次方程x2+ 2x-6=0的两个根. (1)求α2+β2 的值; (2)求α3+β3 的值; (3)求1 α2+ 1 β2 的值. 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 1.不解方程,利用一元二次方程根与系数的关系求关 于x1,x2(x1,x2 为一元二次方程的根