第10章 第5节 几何概型（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第5节 几何概型　　　► 对应学生用书P215 [课标要求]　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；　2.了解几何概型的意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝. [必记结论] 1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； 2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题． 3．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内不会影响概率值． 4．求解几何概型问题注意数形结合思想的应用． 【小题热身】 1. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　 ) 解析：选A．∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B). 2. 某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选C．试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝. 3．如图，在边长为2的正方形中，随机撒1 000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为(　　 ) A．125 B．150 C．175 D．200 解析：选A．由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3. 又正方形的面积为4，则阴影部分面积为(4－3)＝. 设落到阴影部分的豆子数为n，则＝，得n＝125. 4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．一个用七巧板拼成的正方形如图所示，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．设图形中最小正方形的边长为1，则阴影部分面积为两个最小等腰直角三角形面积的和，所以阴影部分面积为2××1×1＝1. 七巧板拼成的正方形边长为2＝2，面积为＝8， 所以在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为. 5．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．设AC＝BC＝a，则AB＝a，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝＝＝＝，即AM>AC的概率为　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　与长度(角度)有关的几何概型 【考点集训】 1. (2021·广东珠海检测)《九章算术》勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．根据题设条件，作示意图如图所示，设绳索长为x尺，则木柱AB＝x－3，由勾股定理， 得＋82＝x2，解得x＝，故所求的概率为： P＝＝. 2.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________________． 解析：因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝. 答案： 3. 在区间上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为______． 解析：sin x＋cos x＝sin ，由x∈，得x＋∈，∴当x＋∈，即x∈时，有sin x＋cos x≥， ∴在区间上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为＝. 答案： 【思维升华】 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同