第10章 第2节 随机抽样、用样本估计总体（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 随机抽样、用样本估计总体　► 对应学生用书P199 [课标要求]　1.理解随机抽样的必要性和重要性；　2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法；　3.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；　4.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释；　5.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法． (3)应用范围：总体个体数较少． 2．系统抽样的步骤 (1)先将总体的N个个体编号； (2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样 (1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 4．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 5．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 6．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 7．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s＝ . (3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数). [必记结论] 1．随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法没有限制． 2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的． 3．系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样． 4．绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录． 【小题热身】 1．为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(　　 ) A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．不能确定 解析：选C．使用分层抽样的方法能够正确反映不同年龄、不同等级的教师的工资情况，按照年龄分层抽样或按等级分层抽样均可． 2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________. 解析：每组袋数：d＝＝20， 由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列． a61＝11＋60×20＝1 211. 答案：1 211 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝.解得x＝15. 答案：15 4．一组数据分别为：12，16，20，23，20，15，28，23，则这组数据的中位数是________． 解析：这组数据从小到大排列为：12，15，16，20，20，23，23，28，∴这组数据的中位数是＝20. 答案：20 5．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人． 解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所