第7章 第4节 基本不等式（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第4节 基本不等式　　　► 对应学生用书P129 [课标要求]　1.了解基本不等式的证明过程；　2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．基本不等式：≤． (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4)≥ (a，b∈R). 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) [必记结论] 1．三个重要的结论 (1)≥ (2)＋≥2(ab>0) (3)≤≤≤ (a>0，b>0). 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. (2)已知a，b，x，y为正实数，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. 【小题热身】 1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 解析：选D．a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，A错误． 当a<0，b<0时，B，C明显错误． ∵ab>0，∴＋≥2 ＝2，D正确． 2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：选A．由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18， 所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立． 3．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析：选C．∵x>0，y>0，∴xy≤，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号，∴xy的最大值为81. 4．(2022·山东济宁调研)若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：选C．由＋＝1得x＋3y＝(x＋3y)＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12. 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2. 答案：25 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用基本不等式求最值 【典例引领】 　配凑法 [例1] (1)已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为________． (2)函数y＝(x>1)的最小值为__________________________________． 解析：(1)当x>时，y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，即y＝4x＋的最小值为7. (2)y＝ ＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立． 答案：(1)7　(2)2＋2 【思维升华】　通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 　常数代换法求最值 [例2] 若a，b为正实数，且＋＝1，则a＋b的最小值为________． 解析：由已知可得a＋b＝(3a＋3b)＝[(2a＋b)＋(a＋2b)]＝[(2a＋b)＋(a＋2b)]·＝(2＋＋)≥＝， 当且仅当＝， 即a＝b＝时取等号，所a＋b的最小值为. 答案： [变式]　(1)本例条件中a、b关系变为“＋＝”，问题不变． 解析：∵a>0，b>0.且＋＝， ∴(a＋1)＋b＝2 ＝2≥ 2＝8， 当且仅当＝即a＝3 ，b＝4时取等号． ∴a＋b的最小值为7. (2)本例中条件若变为“a＋b＝1”，试求＋的最小值． 解析：a＋b＝1 ∴＋＝＋ ＝ ＝≥(2＋2)＝， 当且仅当a＝b＝时取等号，∴＋的最小值为. 【思维升华】　常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3