第7章 第2节 一元二次不等式及其解法（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 一元二次不等式及其解法　► 对应学生用书P123 [课标要求]　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；　2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；　3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 “三个二次”的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [必记结论] 1．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 2．不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 3．不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 【小题热身】 1．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　) A．(－∞，－a)∪(5a，＋∞) B．(－∞，5a)∪(－a，＋∞) C．(5a，－a) D．(a，－5a) 解析：选B．由x2－4ax－5a2>0得(x－5a)(x＋a)>0. ∵a<0，∴x<5a或x>－a. 2．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C． D．∪(1，＋∞) 解析：选C．①m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．②m≠－1时，则解得m<－. 3．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________________________________． (用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0， 得－4<x<1. 答案：(－4，1) 4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－2，3)，则a＋b＝________． 解析：∵x1＝－2，x2＝3是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴解得∴a＋b＝0. 答案：0 5．不等式<1的解集是________． 解析：<1⇒<0⇒>0⇒x>1或x<－1. 答案：{x|x>1或x<－1} 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　不含参数的一元二次不等式的解法 【考点集训】 1．不等式x2<4x＋5的解集为(　　) A．(－∞，－5)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(5，＋∞) C．(－1，5) D．(－5，1) 答案：解析：选C．不等式x2<4x＋5，即x2－4x－5<0，所以(x＋1)·(x－5)<0，解得－1<x<5.所以原不等式的解集为(－1，5).故选C． 2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．[－2，1] D．[－1，2] 解析：选A．当x≤0时，x＋2≥x2，即x2－x－2≤0，－1≤x≤2，所以－1≤x≤0.当x>0时，－x＋2≥x2，即x2＋x－2≤0，得－2≤x≤1，所以0<x≤1.综上，不等式的解集为{x|－1≤x≤1}． 3．不等式0<x2－x－2≤4的解集为_________________________________． 解析：原不等式等价于 即即解得 借助于数轴，如图所示． 所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3] 【思维升华】　解一元二次不等式的4个步骤 考点2　含参数的一元二次不等式的解法 【典例引领】 [例1] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以a(x－1)<0. 所以当a>1时，解为<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解为1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. [变式]　本例条件中“a>0”若去掉，解不等式． 解：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等价于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 当a>0时，同例题解析， 综上，当a<0时，解集为∪(1，＋∞). 当a＝0时，解集为(1，＋∞). 当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为. 【思维升华】　含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若