第7章 第1节 不等关系与不等式（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　第七章　　不等式、推理与证明　　 第1节 不等关系与不等式　► 对应学生用书P121 [课标要求]　了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c， a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc， a＞b，c＜0⇒ac＜bc， a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1). (6)可开方性：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2). [必记结论] 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，d>c>0⇒>. 2．分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)； (2)假分数性质：>；<(b－m>0). 【小题热身】 1．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c<b－d B．ac<bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c 解析：选C．由同向不等式具有可加性可知C正确． 2．若a<b<0，则下列不等关系中，不成立的是(　　) A．> B．> C．a<b D．a2>b2 解析：选B．对于A，a<b<0，两边同除以ab可得>，故A成立；对于B，－＝＝<0，所以<，故B不成立；对于C，根据幂函数的单调性可知C成立；对于D，a<b<0，则a2>b2，故D成立． 3．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0.故选A． 4.__________(填“>”“<”或“＝”). 解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<. 答案：< 5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 解析：由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　比较两个数(式)的大小 【典例引领】 [例1] (1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为__________. 解析：(1)(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B． (2)因为＝＝， 又a>b>0，故>1，a－b>0， 所以>1，即>1， 又abba>0，所以aabb>abba， 所以aabb与abba的大小关系为aabb>abba. 答案：(1)B　(2)aabb>abba [变式]　本例(2)条件变为“b>a>1”．试比较ab－1与ba－1的大小 解：令m＝ab－1，n＝ba－1(b>a>1) ∴ln m＝(b－1)ln a，ln n＝(a－1)ln b 即比较与的大小， 构造f(x)＝(x>1)， f′(x)＝， 令g(x)＝x－1－xln x， ∴g′(x)＝－ln x.故当x>1时g′(x)<0， ∴g(x)<g(1)<0， ∴f′(x)<0，故f(x)在(1，＋∞)为减函数，又b>a>1， ∴f(b)<f(a).即ab－1>ba－1. 【思维升华】　比较大小的常用方法 1．作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论． 2．作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)结论． 【考点集训】 1．若实数m≠1，比较m＋2与的大小． 解：m＋2－＝＝， ∴当m>1时，m＋2>； 当m<1时，m＋2<. 考点2　不等式的基本性质 【典例引领】 　运用性质判断不等式 [例2] (1)若a，b∈R，且a>|b|，则(　　) A．a<－b B．a>b C．a2<b2 D．> 解析：选B．∵a>|b|，|b|≥b，∴a>b. (2)(一题多法)已知实数x，y满足<，则下列关系式中恒成立的是(　　) A．tan x>tan y B．ln (x2＋2)>ln (y2＋2) C．> D．x3>y3 解析：选D．法一　因为<，所以x>y，由于y1＝tan x在R上不是单调函数，所以选项A不正确；又x2－y2＝(x－y)(x＋y)的正负不确定，所以x2和y2的