第5章 第4节 复数（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第4节 复数　　　　　► 对应学生用书P101 [课标要求]　1.理解复数的基本概念；　2.理解复数相等的充要条件；　3.了解复数的代数表示法及其几何意义；　4.会进行复数代数形式的四则运算；　5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别叫做复数的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di) ＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di) ＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di) ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝ ＝＋i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). [必记结论] 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi). 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 5．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 【小题热身】 1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　 ) A．2＋i B．2－i C．1－i D．1＋i 解析：选D．由题意可得z＝＝＝＝1＋i. 2．若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　　) A．a≠2且a≠－1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝0或a＝2 解析：选B．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则解得a＝0. 3．若复数z＝(i为复数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：选D．z＝＝＝＋i，由复数在复平面内对应的点 在第三象限，得解得即m<－1，故选D． 4．若复数z＝，则 ＝(　　 ) A． B．2 C． D． 解析：选D．z＝ ＝ ＝ ＝2＋i，|z|＝ ＝ . 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　复数的相关概念 【典例引领】 [例1] (1)若复数z满足z ＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为(　　 ) A．2 B．2i C．－2 D．－2i 解析：选C．因为z(1＋i)＝－3＋i，所以z＝ ＝ ＝ ＝－1＋2i， 所以＝－1－2i，即z的共轭复数的虚部为－2. (2)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是(　　 ) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i 解析：选D．z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确； 对于B，模长|z|＝，正确； 对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确； 对于D，z的共轭复数为1＋i，错误． 【思维升华】解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). 【考点集训】 1．已知复数z＝(a－3i)(3＋2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7，则a的值为(　　 ) A．1 B．0 C．2 D．－2