第5章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ► 对应学生用书P097 [课标要求]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；　2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；　3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；　5.会用向量法解决某些简单的平面几何问题；　6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积． 4．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos_θ； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|， 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|， 特别地，a·a＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|． 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos 〈a，b〉＝； (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． 7．平面内两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝. [必记结论] 1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 2．两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 3．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【小题热身】 1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B．因为正八边形的内角和为π＝6π， 所以与的夹角为π－∠A6A7A8＝π－＝. 2．在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B．∵＝，∴＝，∴·＝·＝||||cos ＝×3×3×＝. 3．向量a＝，b＝，若a⊥b，则＝(　　 ) A． B．2 C．5 D．5 解析：选C．向量a＝，b＝，a⊥b， 则a·b＝0，即－2＋2k＝0 ∴k＝1，即3a＋b＝(1，7)， ∴＝＝＝5. 4．如果平面向量a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是(　　 ) A．|b|＝2|a| B．a∥b C．a与b的夹角为30° D．a在b方向上的投影为2 解析：选B．因为a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，所以b＝－3a. 在A中，由b＝－3a，可得|b|＝3|a|，故A错误； 在B中，由b＝－3a，可得a∥b，故B正确； 在C中，由b＝－3a，可得a与b的夹角为180°，故C错误； 在D中，a在b方向上的投影为＝＝－2，故D错误． 5．已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________________________________________________________________________． 解析：设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－. 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面向量的数量积运算 【考点集训】 1．(2021·北京高考)a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________________________________________________