第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　第五章　　 　　平面向量、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算　► 对应学生用书P091 [课标要求]　1.了解向量的实际背景；　2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；　3.理解向量的几何表示；　4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；　5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；　6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b ＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向 量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ 与向量a 的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． [必记结论] 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3)＝(＋)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若a与b都是单位向量，则a＝b.(　　) (2)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．(　　) (3)若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合．(　　) (4)海拔、温度、角度都不是向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设a，b是两个非零向量，下列四个条件中，使＝ 成立的充分条件是(　　 ) A． ＝ 且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝4b 解析：选D． 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选项易知D满足题意． 3．(2023·湖南长沙一中期中)如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 ＝(　　 ) A．－ ＋ B．－ ＋ C．－ ＋ D．－ ＋ 解析：选A．因为E是线段AD的靠近A的三等分点，所以 ＝ ， 又D是线段BC的中点，所以 ＝ ， 所以＝＋＝－＋ ＝－＋ (＋)＝－ ＋ . 4．若菱形ABCD的边长为2，则| － ＋ |＝________． 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________． 解析：因为a＋λb与－(b－2a)共线，所以＝，即λ＝－. 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面向量的概念 【考点集训】 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点． ②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量． 2．给出下列命题，正确的是(　　 ) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条