第4章 第7节 解三角形的实际应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第7节 解三角形的实际应用　► 对应学生用书P088 [课标要求]　会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．　 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 　测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【小题热身】 1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m 解析：选D．由三角形内角和定理可知， ∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得：＝⇒＝⇒AB＝50 m，故选D． 2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m. 解析：如图所示，依题意有∠ACE＝30°， ∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30， 由＝，得AE＝10，所以AB＝(30＋10)m. 答案：30＋10 3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1. 答案：－1 4．如图，某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡 脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°， AE＝，所以由正弦定理得AD＝＝AE＝， 因此CD＝AD sin 60°＝×sin 60°＝10(3－)m. 答案：10(3－) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　测量距离问题 【典例引领】 [例1] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象， 被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． 解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋). 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， 所以∠DBC＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000， 解得AB＝80，故图中海洋蓝洞的口径为80. 答案：80 【思维升华】　距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 　注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 【考点集训】 1．(2023·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　 ) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：选A．如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里). 2．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从