第3章 重难突破系列(一) 利用导数解决不等式恒成立、有解问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

重难突破系列(一)　利用导数解决不等式恒成立、有解问题 ► 对应学生用书P052 不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理． 分离参数法求参数范围 [例1] 已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1). (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 思路揭秘：解决本题第(2)问可分离参数a，再根据表达式转化为最值问题求解．构造函数后要注意判断其单调性． 规范演示：(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1). 即f′(x)＝xex＋ex－4，1分 则f′(0)＝－3，f(0)＝2，2分 所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.4分 (2)由f(1)≥0，得a≥>0，则f(x)≥0 对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立．…6分 设函数F(x)＝(x>0)，7分 则F′(x)＝－. 当0<x<1时，F′(x)>0；当x>1时，F′(x)<0， 所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，…10分 所以F(x)max＝F(1)＝.于是≥，解得a≥. 故实数a的取值范围[，＋∞).12分 【点拨】　利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式； (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值； (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 【考点集训】 1．已知曲线f(x)＝bex＋x在x＝0处的切线方程为ax－y＋1＝0. (1)求a，b的值； (2)当x2>x1>0时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(x)＝bex＋x得，f′(x)＝bex＋1， 由题意得在x＝0处的切线斜率为f′(0)＝b＋1＝a， 即b＋1＝a，又f(0)＝b，可得－b＋1＝0，解得b＝1，a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ex＋x， 所以f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)， 即为f(x1)－mx－x1<f(x2)－mx－x2， 由x2>x1>0知，上式等价于函数φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2在(0，＋∞)为增函数，φ′(x)＝ex－2mx≥0，即2m≤， 令h(x)＝(x>0)，h′(x)＝， 当0<x<1时，h′(x)<0时，h(x)单调递减； 当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)min＝h(1)＝e， 则2m≤e，即m≤，所以实数m的范围为(－∞，]. 　等价转化法求参数范围 [例2] 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围． 解：不等式2x ln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x≥－x＋a－， 令g(x)＝2ln x＋x－a＋，x∈(0，e]， 则g′(x)＝＋1－＝＝， 则在区间(0，1)上，g′(x)<0，函数g(x)为减函数； 在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数． 由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4]. 【点拨】　解决此类问题的关键是将已知条件的恒成立问题利用不等式的性质进行等价变形转化，再构造函数利用最值思想求解． 【考点集训】 2．已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x)ex在[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：f(x)≥x＋(1－x)ex，即ex－ax2≥x＋ex－xex，即ex－ax－1≥0，x≥0. 令h(x)＝ex－ax－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－a(x≥0)，当a≤1时，由x≥0知h′(x)≥0， ∴在[0，＋∞)上h(x)≥h(0)＝0，原不等式恒成立． 当a>1时，令h′(x)>0，得x>ln a； 令h′(x)<0，得0≤x<ln a. ∴h(x)在[0，ln a)上单调递减， 又∵h(0)＝0，∴在[0，＋∞)上h(x)≥0不恒成立，∴a>1不合题意． 综上，实数a的取值范围为(－∞，1]. 　　 　最值定位法求解双参不等式成立问题 [例3] 已知函数f(x)＝ln x－mx，g(x)＝x－(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若m＝，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝ln x－mx，x>0，所以f′(x)＝－m， 当m≤0时，f′(x)>0，f(x)