第3章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2课时　利用导数研究函数的极值、最值 [课标要求]　1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；　2.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 　函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [必记结论] 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　) (2)函数的极大值比极小值大．(　　) (3)“f′(x0)＝0”是“x0为可导函数y＝f(x)的极值点”的充分不必要条件．(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，极大值也并不一定是最大值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________． 解析：f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0. ∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1. 答案：－1 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析：选B．因为函数f定义域为，所以依题可知，f＝－2，f′＝0，而f′＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′＝－＋，因此函数f在上递增，在上递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有f′＝－1＋＝－. 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值 范围是________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6. 答案：(2，6) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用导数求函数极值问题 【典例引领】 　根据图象判断函数极值 [例1] 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(2) B．函数f(x)有极大值f(－2) C．函数f(x)有极小值f(－2) D．函数f(x)有极小值f(1) 解析：选B．由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0；当1<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故选A． 【思维升华】　由函数的图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由函数的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出导函数值的正负，从而可以判断出函数的单调性，两者结合可得极值点． 　求函数极值 [例2] 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如表所示． x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x∈(0，)，则f′(x)>0，若x∈(，＋∞)