第3章 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 导数的应用　　► 对应学生用书P043

第1课时　利用导数研究函数的单调性

[课标要求]　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；　2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识

1．函数的单调性

如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，若f′(x0)＝0.

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求函数极值点的步骤

①求出导数f′(x).

②解方程f′(x)＝0．

③对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：

若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；

若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；

若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

[必记结论]

1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立．

2.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

3．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

【小题热身】

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在定义域上都有 f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．(　　)

(2)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)

(3)在某区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．(　　)

(4)在(a，b)上f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

解析：选D．由题图可知当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合．

3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]     B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞)     D．[1，＋∞)

解析：选D．因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－. 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.

4．函数f(x)＝的单调递增区间为__________________；单调递减区间为____________．

解析：函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1).

答案：(1，＋∞)　(－∞，0)和(0，1)

　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力

考点1　不含参数的单调性

【考点集训】

1．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　)