第3章 第1节 导数的概念及运算（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　第三章　　　 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算 ► 对应学生用书P040 [课标要求]　1.了解导数概念的实际背景；　2.理解导数的几何意义；　3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应的，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). [必记结论] (1)奇函教的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　) (3)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是5t.(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列导数的运算中错误的是(　　 ) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：选C．因为′＝，所以C项错误，其余都正确． 3. (2021·全国高考甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为__________． 解析：由题知，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上． 求导得：y′＝＝， 所以y′|x＝－1＝5. 故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 4．已知曲线f(x)＝ln x＋在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a的值为_______． 答案：－1 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　导数的运算 【考点集训】 1．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：选A．因为f(x)＝x·ex，∴f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝e+1×e=2e． 2．若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．∵f(1)＝1且f(1)＋g(1)＝0，∴g(1)＝－1. ∵f(x)＋xg(x)＝x2－1，∴f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x， ∴f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，∴f′(1)＋g′(1)＝2－(－1)＝3.故选C． 3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________． 解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1. 答案：1 【思维升华】　导数运算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂形式，再求导； ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 考点2　导数的几何意义 【典例引领】 　求切线方程 [例1] (1)曲线f(x)＝e－x＋x2在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：选A．∵f(x)＝e－x＋x2 ，∴f′(x)＝－e－