第2章 第8节 函数与方程（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第8节 函数与方程　　► 对应学生用书P032 [课标要求]　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；　2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [必记结论] 1．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点．(　　) (4)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列各图象表示的函数中有零点但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解析：选C．选项C，图象与x轴有交点，但两侧符号均为正，故不能用二分法求零点． 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．2 B．－2，0 C． D．0 解析：选D．当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去).综上，函数的零点为0. 4．函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A． B． C． D．(1，2) 解析：选C．易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln ＋＝，又＝81e<44＝256，∴f＝<0，∵f(1)＝ln 1＋1－＝>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为. 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数零点所在区间的判定 【考点集训】 1．函数f＝ln －的零点所在的区间是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D．由题得f＝ln 3－2＝ln 3－ln e2<0，f＝ln 4－1＝ln 4－ln e>0，所以f(1)f(2)<0，由零点存在定理得函数f＝ln －的零点所在的区间是. 2．记函数f(x)＝x＋ln x的零点为x0，则关于x0的结论正确的为(　　) A．0<x0< B．<x0<1 C．－x0＝0 D．＋x0＝0 解析：选B．由于函数f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且f＝－ln 2<0，f(1)＝1>0，∴<x0<1，故A选项错误，B选项正确．由于x0是函数f(x)＝x＋ln x的零点，则x0＋ln x0＝0，即ln x0＝－x0，∴x0＝，即－x0＝0，则＋x0＝2>0，故CD选项错误． 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. 答案：2 【思维升华】确定函