第2章 第2节 函数的单调性与最值（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 函数的单调性与最值　► 对应学生用书P011 [课标要求]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；　2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [必记结论] (1)函数单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么 ①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]. (3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (4)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (5)函数f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数y＝f(x)，若f(4)<f(5)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝ f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1, x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增 B．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减 C．函数f(x)在区间[－1，4]上单调递减 D．函数f(x)在区间[2，4]上单调递增 解析：选A．由题图可知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，故选A． 3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上为增函数，则满足f(x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．(，) B．[，) C．(，) D．[1，) 解析：选D．因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(x－1)<f().所以0≤x－1<，解得1≤x<，故选D． 4．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________． 解析：因为f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为f(2)＝＝，最小值为f(4)＝＝. 答案：　 5．函数f(x)＝的单调增区间为____________________________． 解析：由x2＋2x－3>0，得定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，由复合函数的单调性的判断方法得增区间为(－∞，－3). 答案：(－∞，－3) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　确定函数的单调性(区间) 【考点集训】 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　) A．y＝－sin x B．y＝x2－2x＋3 C．y＝ln (x＋1) D．y＝2 022－ 解析：选D．y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上单增．故选D． 2．函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．(，3) B．(－2，) C．(－2，3) D．(，＋∞) 解析：选A．由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数．由复