第2章 创新拓展系列(二) 与二次函数有关的能成立和恒成立问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　创新拓展系列(二)·与二次函数有关的能成立和恒成立问题　 　　　　　　 二次函数中的能成立和恒成立问题是常见的题型，解决此类问题关键是利用数形结合及单调性，求出函数的最值，再根据条件求解．考查数学运算和逻辑推理素养． 【典例】　已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数． (1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围； (2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围； (3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围． [思维点拨]　(1)构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)max≤0求解； (2) 构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)min≤0求解； (3)根据题意，根据f(x)max≤g(x)min求解． 解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86. (2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10. (3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3].由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118. 【思维升华】　1.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则 ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则 【创新集训】 1．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(－∞，0] B． C．(－∞，0)∪ D． 解析：选D．由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1，3]恒成立，即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1，3]恒成立． ∵当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m<.∵当x＝3时，取最小值，∴若要不等式m<对于x∈[1，3]恒成立，则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为，故选D． 2．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________． 解析：作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0， 则有即解得－＜m＜0. 答案： [课下巩固检测卷(七)] ________________________________________________________________________ A－基础巩固题组 1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　 ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 解析：选A．∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件． 2．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．[－1，2] C．(1，2) D．[1，2] 解析：选A．函数f(x)＝2x2－4kx－5图象的对称轴为直线x＝k，若函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2). 3．若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：选D．因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增，∴()>().又y＝x在[0，＋∞)上单调递增，