第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件　► 对应学生用书P004 [课标要求]　1.理解命题的概念；　2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；　3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．四种命题间的相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p [必记结论] 1．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 【小题热身】　　　　　　　　　　　　　　　　 1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 解析：选D．将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0. 2．有下列几个命题： ①“若a>b，则>”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． 其中真命题的序号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：选C．①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题，所以真命题的序号是②③. 3．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．选A．若sin x＝ 1, 则x＝＋ 2kπ，k∈Z，此时cos x＝0，故充分性成立；反之，若cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z，当x＝＋2mπ，m∈Z时，sin x＝－1，故必要性不成立．综上，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A． 4．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为________________________________________________________________________． 解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，结论：A，B都是锐角． 否命题是否定条件和结论，即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”． 答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角 5．(2023·辽宁大连模拟)已知命题“∃x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________. 解析：由题意知“∀x∈R，x2－2ax＋3a>0”为真命题，所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3. 答案：(0，3) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　命题及其关系　　　　　　　　　　　　　　 【考点集训】 1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　) A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题． 2．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　) A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题 解析：选D．设△ABC中，A≤B≤C．若△ABC有一内角为，则可知B＝，所以A＋C＝，所以2B＝A＋C，所以A，B，C成等差数列．若△ABC的三内角成等差数列，则C－B＝B－A，所以2B＝A＋C．又A＋B＋C＝π，所以B＝，即原命题与其逆命题同为真命题．故选D． 3．在下列四个命题中，真命题是(　　) ①“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题； ②“若x2>0，则x>1”的逆否命题； ③“等