选修4-5 第2节 不等式的证明（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 不等式的证明　　► 对应学生用书P273 [课标要求]　1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法；　2.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．证明不等式的基本方法 (1)比较法 ①作差比较法：已知a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法． (4)反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立． (5)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的． 2．柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式： 定理1　若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式： 定理2　设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 定理3　设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥. 4．一般形式的柯西不等式 定理　设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． [必记结论] 1.－＝<； 2.<＝－， >＝－； 3.<＝＝(－). 【小题热身】 1．利用反证法证明：若＋＝0，则x＝y＝0，假设为(　　) A．x，y都不为0 B．x，y不都为0 C．x，y都不为0，且x≠y D．x，y至少有一个为0 解析：选B．“x＝y＝0”的否定为“x≠0或y≠0”，即为x，y不都为0， 2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图： 在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　) A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法 C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法 解析：选A．对于①，是由已知⇒可知(即结论)，执因导果，属于综合法；对于②，是由未知⇒需知，执果索因，为分析法，故选A． 3．证明不等式＋<＋成立的最适合 的方法是_________． 解析：要证明不等式＋<＋，只要证(＋)2<(＋)2， 即证9＋2<9＋2，故只要证<， 即证14<18.这是成立的，∴原不等式成立． 以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法． 答案：分析法 4．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________． 解析：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用绝对值三角不等式证明不等式 【典例引领】 [例1] (2021·陕西洛南中学月考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋且a为非零常数． (1)当a＝1时，求f(x)≤7的解集； (2)当a<0时，求证f(x)≥2. [思维点拨]　(1)用分段函数表示f(x)＝|x＋a|＋，分三段分别解不等式f(x)≤7，取并集，即得解； (2)利用绝对值的性质可得|x＋a|＋≥，再结合均值不等式，即得解． 解：(1)因为a＝1所以 f(x)＝|x＋a|＋＝|x＋1|＋|x－2|＝ 当x<－1时，1－2x≤7即－3≤x≤－1； 当－1≤x<2时，恒成立； 当x≥2时，2x－1≤7即2≤x≤4； 综上所述x∈{x|－3≤x≤4} (2)由题可知|x＋a|＋≥ ＝ 当且仅当(x＋a)≤0，即≤x≤－a时等号成立； 又因为a<0，即－a>0，－>0 所以＝－＝(－a)＋≥2 当且