选修4-4 第2节 参数方程（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 参数方程　　　► 对应学生用书P266 [课标要求]　1.了解参数方程，了解参数的意义；　2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 抛物线 y2＝2px(p>0) (t为参数) [必记结论] 1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 2．普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一．应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 常用的四个消参结论 (1)t·＝1； (2)sin2θ＋cos2θ＝1； (3)－＝4； (4)＋＝1 【小题热身】 1．若x与y满足x2＋y2＝4，则该轨迹上的任意一点可表示为(　　) A．(sinβ，cos β) B．(sin β，cos β) C．(2sin β，2cos β) D．(4sin β，4cos β) 解析：选C．设轨迹上的点的坐标为(x，y)，将选项的坐标依次代入方程中验证． 对于A，将(sin β，cos β)代入x2＋y2中得1，故A错误； 对于B，将(sin β，cos β)代入x2＋y2中得2，故B错误； 对于C，将(2sin β，2cos β)代入x2＋y2中得4，故C正确； 对于D，将(4sin β，4cos β)代入x2＋y2中得16，故D错误； 2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　) A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析：选B．由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上． 3．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为____________． 解析：消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 4．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：(θ为参数)引切线，则切线长最小值为__________． 解析：设直线上任一点P，切点为Q，则|PQ|＝， 因为|QC|为半径，所以|PQ|最小，即求|PC|最小， 最小值为圆心(3，－2)到直线x－y＋1＝0的距离， 而圆心(3，－2)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝3， 圆半径为3，则切线长最小值l＝＝3. 答案：3 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　参数方程与普通方程的互化 【典例引领】 [例1] (2021·吉林梅河口模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，且曲线C上的点M对应的参数φ＝， 直线l：(t为参数). (1)求曲线C的普通方程； (2)若点A是曲线C上的一动点，求点A到直线l距离的最小值． [思维点拨]　(1)将M点坐标和对应参数值代入参数方程可求得a，b，进而消去参数得到普通方程； (2)将直线l化为普通方程，设A(2cos θ，sin θ)，利用点到直线距离公式和辅助角公式可将问题转化为三角函数最值的求解问题，进而求得所求最小值． 解：(1)由题意知解得 ∴曲线C的普通方程为＋y2＝1. (2)直线l的普通方程为x＋y－2＝0. 设点A(2cos θ，sin θ)， 则A到直线l的距离d＝＝，其中tan φ＝. 当sin ＝1时，dmin＝＝， ∴点A到直线l距离的最小值为. 【思维升华】　两种方程互化关注的两个问题 一是适当选取参数； 二是确保互化前后方程的等价性． 【考点集训】 1．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆、双曲线和抛物线，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程． 解：由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系， 设M(x，y)，则O(0，0)，A(3，0). 因为＝，即＝， 化简得(x＋1)2＋y2＝4，