第11章 重难突破系列(七) 概率与统计的综合问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

重难突破系列(七)　概率与统计的综合问题　► 对应学生用书P258 概率与统计解答题每年高考必考，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等．既有比较基础的简单应用，也有各类知识交汇的综合题，如概率与统计图表交汇、概率与统计和统计案例交汇、概率与函数、数列、不等式等的交汇等．此类问题一般篇幅较长，对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养． 题型一　概率与统计的综合问题 　概率与回归分析的综合 [例1] (2023·福建晋江市期末)某创业者计划在通往白云寺的公路边建造一座农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如表，x为收费标准(单位：元/日)，t为入住天数(单位：天)，以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图． x 100 150 200 300 450 t 90 65 45 30 20 (1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的分布列； (2)令z＝ln x，由散点图判断＝x＋与＝z＋哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程；(，的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额Q最大？(100天销售额Q＝100×入住率×收费标准x) 参考数据：＝，＝－·，＝240，iyi＝457.5，＝36 500，≈5.35，iyi≈12.72，≈144.24，2≈28.57，e5≈150. 解：(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2， 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 故ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P (2)由散点图可知，＝z＋a更适合于此模型， ＝×(0.9＋0.65＋0.45＋0.3＋0.2)＝0.5， 则＝＝≈－0.47≈－0.5，＝－·＝0.5＋0.47×5.35≈3.0， 所求的回归方程为＝－0.5ln x＋3.0. (3)依题意，Q(x)＝100(－0.5ln x＋3.0)x＝－50x ln x＋300x， 则Q′(x)＝－50ln x＋250， 由Q′(x)>0，得ln x<5，x<e5，由Q′(x)<0，得ln x>5，x>e5， ∴Q(x)在(0，e5)上递增，在(e5，＋∞)上递减， ∴当x＝e5≈150时，L(x)取到最大值， ∴当收费标准约为150(元/日)时，100天销售额Q最大． 【点拨】　高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键． 　概率与独立性检验综合 [例2] 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下： 改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36 (1)完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异？ 超过30 不超过30 改造前 改造后 (2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，k∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T＝30，k＝1，2，3，4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值． 附：χ2＝ α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 思路揭秘：(1)根据已知改造前后数据完成2×2列联表，计算χ2，查表与临界值比较大小即可确定； (2)依题意，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布．计算出一个周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望． 解：(1)