第11章 第8节 离散型随机变量的均值与方差（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第8节 离散型随机变量的均值与方差　► 对应学生用书P253 [课标要求]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；　2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称DX＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2DX．(a，b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 分布 期望 方差 两点分布 E(X)＝p DX＝p(1－p) 二项分布 E(X)＝np DX＝np(1－p) [必记结论] 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； 2．E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2DX； 3．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； 4．DX＝E(X2)－(E(X))2； 5．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 6．若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，DX＝σ2. 【小题热身】 1. 已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A． B．4 C．－1 D．1 解析：选A．EX＝－＋＝－，EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－＋3＝. 2．若随机变量X～B，DX＝，则E(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为X～B，DX＝，则DX＝5p＝，解得p＝，所以EX＝5p＝. 3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，则E与D的值分别为(　　) A．13，4 B．13，8 C．7，8 D．7，16 解析：选D．由已知得Eξ＝3，Dξ＝4， 故E＝2Eξ＋1＝7，D＝4Dξ＝16. 4．已知随机变量ξ的期望为15，则E＝__________． 解析：因为随机变量ξ的期望为15， 所以E＝3Eξ＋5＝3×15＋5＝50. 答案：50 5. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题 数为Y，则Y的数学期望为_________________________________． 解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则EY＝3×＝2. 答案：2 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　求离散型随机变量的均值与方差　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例引领】 [例1] 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望EDξ，方差DDξ. [思维点拨]　(1)相同付费，即为0，40，80，利用互斥事件概率公式即可求得； (2)确定ξ的可能取值，求出概率，得出分布列，再求Eξ和Dξ. 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为 P3＝×＝. 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)ξ可能取值为0，40，80，120，160， 则P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝. 所以，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P ∴EDξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80， DDξ＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(16