第11章 第7节 二项分布与正态分布（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第7节 二项分布与正态分布　　► 对应学生用书P249 [课标要求]　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；　2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；　3. 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；　4.能解决一些简单的实际问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验的结果，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 4．正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.3%； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.4%； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.7%. [必记结论] 1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 2若事件A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 3．若A1，A2，…An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). 4．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A). 5．对于正态分布N(μ，σ2)由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 【小题热身】 1．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是(　　) A．相互独立 B．互斥 C．既相互独立又互斥 D．既不相互独立又不互斥 解析：选A．由于A∩B表示“向上的点数为1”，所以A，B不是互斥事件． 因为P＝，P＝＝，P＝，所以P＝P· P， 所以A，B是相互独立事件，不是互斥事件． 2．在一次试验中，随机事件A，B满足P＝P＝，则(　　) A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥 C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立 解析：选B．因为P＋P>1，所以事件A，B一定不互斥． 3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　) A． B．× C．× D．C×× 解析：选B．由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为×. 4. 天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________________． 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 答案：0.38 5. 已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 解析：∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3