第11章 第6节 离散型随机变量及其分布列（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第6节 离散型随机变量及其分布列　► 对应学生用书P244 [课标要求]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列；　2.了解超几何分布，并能进行简单的应用． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布． 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． [必记结论] 1．离散型随机变量在指定范围内的概率等于本范围内所有随机变量取值的概率和； 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 3. 若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是离散型随机变量，且P(Y＝yi)＝P(X＝xi)，其中yi＝axi＋b. 【小题热身】 1. 抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　 ) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 解析：选D．甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D． 2. 设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝. 3. 有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________． 解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3. 答案：0，1，2，3 4．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝________． 解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案： 5. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 解析：由题意知X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝. 答案： 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　离散型随机变量分布列的性质 【考点集训】 1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且n－m＝0.1，则P＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析：选C．由题意可得： 解得 故P＝P＋P＋P＝0.1＋0.3＋0.2＝0.6. 2．设随机变量X的分布列为P＝，k＝1，2，3，C为常数，则P＝________． 解析：随机变量X的分布列为P＝，k＝1，2，3，∴ ＋＋＝1，即＝1，解得C＝， ∴P＝P＋P＝＝. 答案： 3．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列． 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而Y＝2X＋1的分布列为 Y 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1