第11章 第3节 二项式定理（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节 二项式定理　　　► 对应学生用书P233 [课标要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C． 2．二项式系数的性质 [必记结论] 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 【小题热身】 1.的展开式中，含x4项的系数为(　　 ) A．4 B．6 C．10 D．15 解析：选B．的展开式通项为Tr＋1＝C·x6－r·＝C·x6－2r， 令6－2r＝4，解得r＝1，因此，展开式中含x4项的系数为C16＝6. 2.＋＋＝a0＋a1x ＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(　　 ) A．49 B．56 C．59 D．64 解析：选C．令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＝59. 3．二项式(x＋)n(n∈N*)展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为(　　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B．Tr＋1＝C·3·2·xn－r，若系数为有理数，则n－r是2的倍数，r是3的倍数，n＝7，r＝3符合题意，故选B． 4．已知n∈N*，的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则该二项式展开式中各项系数和为________． 解析：∵n∈N*，的展开式中只有第7项的二项式系数C最大， ∴n＝12，令x＝1，所以该二项式展开式中各项系数和为212. 答案：212 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　二项式中的特定项及系数问题 【典例引领】 　二项式展开式问题 [例1] (1)展开式中x项的系数为(　　 ) A．28 B．－28 C．112 D．－112 解析：选C．展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr＝Cx. 要求x项的系数，只需＝1，解得r＝2， 所以C＝4×＝112. (2)二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 解析：选C．Tr＋1＝C＝Ca6－rx12－3r，令12－3r＝0，所以r＝4. 令Ca2＝60，解得a＝±2. 【思维升华】　求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量． 　两个多项式积的展开式问题 [例2] (1)·的展开式中的常数项为(　　 ) A．12 B．15 C．20 D．35 解析：选C．的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx－r， 故·的展开式的通项公式为T＝CCxk－r，令k－r＝0，可得k＝r， 故展开式中的常数项为CC＋CC＋CC＋CC＝20. (2)(2022·新高考Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____________(用数字作答). 解析：因为＝－， 所以的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6， 的展开式中x2y6的系数为－28. 答案：－28 【思维升华】　求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 　三项展开式问题 [例3] (1)(一题多法)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：选C．法一　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2. 又(x2＋x)3的展