第11章 第2节 排列与组合（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 排列与组合　　　► 对应学生用书P228 [课标要求]　1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；　2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．排列与组合 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性质 0！＝1，A＝n！ C＝C，C＝C＋C [提醒]　1.要注意区分排列与组合，元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 2．熟练记忆与应用排列数和组合数公式，避免混淆． 3．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏． 4．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏． 【小题热身】 1．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为(　　 ) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：选B．将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则AA＝12，故所求的坐法种数为12. 2．某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(　　 ) A．15 B．45 C．60 D．75 解析：选C．从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有C24C26＝90种选法．语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有C23C25＝30 ， 所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90－30＝60. 3．计算C＋C＋C＋C69的值为______(用数字作答). 解析：原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210. 答案：210 4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　 ) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 解析：选B．第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法． 所以共有120＋96＝216(种)排法． 5．现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲、乙两类均被选到的方法共有___________种． (用数字填写答案) 解析：甲、乙两类均被选到分两种情况： (1)甲类选2个，乙类选1个，即C26C12； (2)甲类选1个，乙类选2个，即C16C22； 所以总数共有C26C12＋C16C＝36. 答案：36 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　组合问题 【典例引领】 [例1] 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员． 解：(1)分两步完成： 第一步，选3名男运动员，有C种选法； 第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法． (2)法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种). 法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解． 从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种). (3)法一　(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C； “男、女队长都入选”的选法种数为C， 所以共有2C＋C＝196(种)选法． 法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法， 其中不选