第11章 创新拓展系列(十一) 特殊的排列组合模型（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　创新拓展系列(十一)·特殊的排列组合模型　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　定序问题 在有些排列问题中，某些元素的先后顺序是固定的(但不一定相邻). 解决这类问题的基本方法有两个：一是等几率法，若有(m＋n)个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，则将这(m＋n)个元素排成一列，共有A种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素变换顺序，共有A种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有种不同的排法． 类似地还可以推广到一般情形，如有(m＋n＋k)个元素排成一列，其中有m个元素之间的排序一定，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有种不同的排法，即第二种方法“逐步插空法”． [例1] (一题多法)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有______种(用数字作答). 解析：法一(等几率法)　7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝A＝840(种)排法． 法二(逐步插空法)　设想有7把椅子让4名男生就坐，共有A种方法，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故有A＝840(种)排法． 答案：840 题型二　圆形排列问题 n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中． [例2] 小明及朋友小张去参加一个聚会，8个人围着圆桌随机坐下，每个人坐在任何一个位置的概率相等．在这种情况下小明同其朋友坐在一起所有可能情况有________种(用数字作答). 解析：小明及其朋友坐在一起时总的坐法可以这样考虑：第一步：将除去小明及其朋友外6个人排好，有(6－1)！种坐法；第二步，把小明及其朋友作为一个整体插到6个人形成的空隙中，6个人围在一起时，会形成6个空隙，故有6种情况．第三步，小明及其朋友内部可以全排列．由分步乘法计数原理，小明及其朋友坐在一起的坐法有 (6－1)！×6×A＝1 440种． 答案：1 440 题型三　“隔板法”解分组与分配问题 “隔板法”也称“挡板法”，是解决相同元素的分配问题的常用方法．凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”解： (1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C种，即给n个元素的中间n－1个空格中加入m－1个“隔板”． (2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”． [例3] 将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1名，问名额的分配方式共有多少种？ [思维点拨]“名额”是不加区分的，相当于将10个相同的元素分配到7个不同的单位，每个单位至少一个，求分配的种数，因此可考虑分类(不均匀分配)处理或用“隔板法”． 解：法一　问题等价于将排成一行的10个相同元素分成7份的方法数，相当于在10个相同元素的9个间隔(除去两端)中插入6块隔板分成7份，共有C＝84(种). 所以名额分配方式有84种． 法二　由于每校至少1名，先将每个学校分配1名，还剩下3名，将这3名分配给7所学校，共有以下三类分法： 全部分给一校有C种(此时该校共有4名，另外六校各1名)；分给两校，一校2名，另一校1名有C·C(或列式为A)种；均分给三校有C种． 由分类加法计数原理知共有分配方式C＋C·C＋C＝84(种). 【创新集训】 1．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有(　　 ) A．10种 B．15种 C．21种 D．28种 解析：选D．根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔， 将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球、2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有C＝28种． 2. 7名同学坐圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有________种． 解析：把任意一名同学固定在任意一个位置，再把其他6名同学往其他位置里全排列，有A种方法，则一共有A＝720种方法． 答案：720 3．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个