第10章 第3节 变量间的相关关系、统计案例（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节 变量间的相关关系、统计案例　► 对应学生用书P220 [课标要求]　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；　2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；　3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用；　4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程y︿＝b︿x＋a︿是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a︿，b︿是待定参数． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心． (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． (3)独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． [必记结论] 1．通过观察散点图中点的分布是否大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数可以判断两个变量间是否具有线性相关关系． 2．回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上． 【小题热身】 1．(2022·陕西咸阳质检)下列属于相关现象的是(　　) A．利息与利率 B．居民收入与储蓄存款 C．电视机产量与苹果产量 D．某种商品的销售额与销售价格 解析：选B．当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，我们称这样的两个变量具有相关关系，也就是说两个变量之间既不存在函数关系，又不是完全没有关系，选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款越多；选项C中的电视机产量与苹果产量无任何关系；选项D中某种商品的销售额与销售价格具有函数关系． 2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y︿＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：选D．由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确． 3．下面是2×2列联表： y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 则表中a，b的值分别为(　　) A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74，52 解析：选C．∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74. 4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　 ) A．模型1的相关指数R2为0