第7章 第5节 推理与证明（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第5节 推理与证明　　► 对应学生用书P135 [课标要求]　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；　2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；　3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；　4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；　5.了解间接证明的一种基本方法——反证法：了解反证法的思考过程、特点；　6.了解数学归纳法的原理．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．合情推理 类型 定义 特征 归纳 推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性 由部分到整体、由个别到一般 类比 推理 两类不同对象具有某些类似特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征 由特殊到特殊 合情 推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理 2．演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法． (1)综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法． 综合法又称为：由因导果法(顺推证法). (2)分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法． 分析法又称为：执果索因法(逆推证法). 4．间接证明 反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫做反证法． 反证法的证题步骤是： (1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出矛盾； (3)否定假设，肯定结论． 5．数学归纳法 　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． [必记结论] 1．归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，通过观察、试验，对有限的资料归纳整理，提出带有规律性的猜想，归纳推理得出的结论不一定正确． 2．反证法不直接证明命题“若p，则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真，肯定命题“若p，则q”为真． 【小题热身】 1．欲证－<－，只需证(　　) A．(＋)2<(＋)2 B．(－)2<(－)2 C．(－)2<(－)2 D．(－－)2<(－)2 解析：选A．欲证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，故选A． 2．按如图所示的规律所拼成的一图案共有1 024个大小相同的小正三角形“△”或“▽”，则该图案共有(　　) A．16层 B．32层 C．64层 D．128层 解析：选B．设该图案共有n层，则1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1 024，即n2＝1 024，所以n＝25＝32.故选B． 3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________． 解析：∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得，f(2n)≥. 答案：f(2n)≥ 4．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________． 解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下： 设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，所以内切球的半径R＝. 答案： 5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2(＋＋…