第7章 第3节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 ► 对应学生用书P129 [课标要求]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)；　2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式(组)；　3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 3．线性规划的相关概念 名称 内容 约束条件 由变量x，y组成的不等式(或方程) 线性约束条件 由变量x，y组成的一次不等式(或方程) 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 [必记结论] 1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y<kx＋b的形式． (1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方． (2)若y<kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方． 2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，若b>0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b<0，则相反． 【小题热身】 1．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　) A． B． C． D． 解析：选C．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 解得A(1，1)， 易得B(0，4)，C，则|BC|＝4－＝. 所以S△ABC＝××1＝. 2．若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________________________________________________________________________． 解析：∵点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5>0，∴m>1. 答案：(1，＋∞) 3．若实数x，y满足约束条件则x－2y的最大值为________． 解析：画出可行域如图中阴影部分所示．令z＝x－2y，则y＝x－z.所以z的最大值在直线y＝x－z截距最小时取得．所以z＝x－2y在点A(1，1)处取得最大值－1. 答案：－1 4．已知点A(0，2)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________． 解析：依题意，画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形 可知，|PA|的最小值等于点A(0，2)到直线x－y＝0的距离，即＝. 答案： 5．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选A．先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1. 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　二元一次不等式(组)表示的平面区域 【考点集训】 1．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C．由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0<y<4，则y＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x＝2时，0<y<2，则y＝1，此时整点有(2，1)；当x＝3时，y无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C． 2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　) A． B．(0，1] C． D．(0，1]∪ 解析：选D．不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分). 由得A； 由得B(1，0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是(0，1]∪. 3．不等式组所表示的平面区域的面积为______. 解析：如图中阴影部分，不等式组表示的平面区域为直角梯形． 易得A(0，2)，B(2，2)，C(2，7)，D(0，5).所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为S＝×(3＋5)×2＝8. 答案：8 【思维升华】平面区域的形状问题主要有两种