第6章 第1节 数列的概念与简单表示法（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第六章　　 　　　数　列　　 第1节 数列的概念与简单表示法　► 对应学生用书P108 [课标要求]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；　2.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系分类 递增数列 an＋1≥an 其中n∈N* 递减数列 an＋1≤an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 5．an与Sn的关系 已知数列{an}的前n项为Sn，则an＝ [必记结论] 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　 ) A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos (n－1)π＋1 解析：选C．对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin 不合题意，其他都可能． 3．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D．a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　 ) A．15 B．16 C．49 D．64 解析：选A．因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当n＝1时符合上式， 所以an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15. 5．已知an＝2n＋a(1－n).若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________． 解析：∵an＝2n＋a(1－n)，∴an＝(2－a)n＋a，∵数列{an}是递减数列，∴2－a<0，解得a>2. 答案：(2，＋∞) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　由an与Sn的关系求通项公式 【典例引领】 [例1] (1)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　 ) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 解析：选C．当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n.故选C． (2)(2023·衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1－Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_____________________________． 解析：因为an＋1－Sn＝1，所以Sn＋1－2Sn＝1, Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1).因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*. 答案：an＝2n－1，n∈N* 【思维升华】 　1.求解Sn与an关系的两种思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 2．已知Sn求an的一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an； (4)写出an的完整表达式． 【考点集训】 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则a