假期作业(一)平面向量的概念与运算-【玩转假期】2024年高一数学暑假作业

第一部分快乐假期轻松学 第一部分 快乐假期轻松学 假期作业（一） 平面向量的概念与运算 摘要 以同一点O为起 点的两个已知向 题向量的概念与表示 量a,b,以DA, 爱向量的加减法 OB为邻边作 共线向量定理 平行四边形 b/ab LOACB,则以O 题向量的数乘运算 法则 题向量的数量积 为起点的向量OC (OC是□OACB 基础回顾固根本 的对角线)就是向 1.向量的有关概念 量a与b的和 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共 3.共线向量定理 线)向量不一定是相等向量 三点共线问题通常转化为向量共线问题 向量名称 定义 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存 零向量 长度为0的向量，记作0 在唯一一个实数入，使 长度等于 长度 单位向量 也就是说，位于同一直线上的向量可以由位 的向量 于这条直线上的一个 表示 方向 的非零向 4.向量的数量积及其几何意义 平行向量 量，向量a,b平行，记作a (1)定义：已知两个非零向量a与b,它们 (共线向量) ∥b,规定：零向量与任一 的夹角为0，我们把数量 向量 叫做向量a与b的数量积 长度 (或内积)，记作 ,即a·b 且方向 相等向量 的向量；向量a,b相 等，记作a=b 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影 2.向量的加法 B 向量求和 的法则 图示 几何意义 C A 三角形法则 已知非零向量 使用三角形 a,b,在平面内 如图，设a,b是两个非零向量，AB=a, 法则时要注 任取一点A,作 CD=b,我们考虑如下变换：过AB的起点 意“首尾相 AB=a,BC= 接”的条件， A和终点B,分别作CD所在直线的垂线， 而向量加法 b,则向量AC叫 A 做a与b的和， 垂足分别为A1,B得到AB,我们称上 的平行四边 形法则应用 记作a十b,即a 述变换为向量a向向量b 的前提是共 十b=AB十BC A,B叫做向量a在向量五上的 起点 向量. 3 名校直通车·高一数学 5.向量数量积的性质 【思维升华】 设a,b是非零向量，它们的夹角是9，e是 求向量夹角的基本步骤及注意事项 与b方向相同的单位向量，则 (1)步骤： (1)a·e=e·a= (2)a⊥b= 计算ab及Ial,lb (3)当a与b同向时，a·b= ;当a与b反向时，a 计算cos=ab lal ·b= ,特 别地，a·a= 或|a= 隋助0∈[0，π]求出0值 √a·a.在求解向量的模时一般转化为模 (2)注意事项：在个别含有|a,|b|与a 的平方，但不要忘记开方 ·b的等量关系式中，常利用消元思想计算 (4)|a·b1 lal·|bl. cos0的值， 经典例题得思维 综合训练提考能 【典例】(1)已知e与e是两个互相 一、选择题 垂直的单位向量，若向量e1一e2与e:十e2 的夹角为锐角，则飞的取值范围是 1.若|AB|=|AD1且BA=CD,则四边形 ABCD的形状为 (2)已知非零向量a,b满足a+3b与 △.平行四边形 B.矩形 7a-5b互相垂直，a-4b与7a一2bF相垂 C.菱形 D.等腰梯形 直，求a与b的夹角. 2.a,b为非零向量，且|a-b=|a+|b|, 【解析】(1)(0,1)U(1,十∞) 则 [,e十e2与ke,十e2的夹角为锐角， A.a∥b,且a与b方向相同 (e+ke2).(ke +e2)=ke +ke+ B.a,b是共线向量且方问相反 (k2+1)e1·e2=2k>0, C.a=-b ∴.k>0.当k=1时，e1|ke2=e1|e2: D.a,b无论什么关系均可 它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 3.(多选)给出下面四个式子，其中结果为0 综上，k的取值范围为(0,1)U(1,|∞).] 的是 () (2)解由已知条件得 (a十3b)·(7a-5b)=0, A.AB I BCI CA (a-4b)·(7a-2b)=0, B.OA+OC+B0-Cò .7a2+16a·b-15b=0,① 即7a-30ab+86=0,@ C.AB-AC+BD-CD ②-①得23b-46a·b=0, D.NQ+QP+MN-MP ∴.2a·b=b,代入①得a2=b, 4.已知|b=3,向量a在向量b上的投影向 .a=b,设a与b的夹角为0， 量为多b,则a·b a·b ∴cos0=1ab=b2 A.3 B号 :9e0,]9=3 c D 27 4 第一部分快乐假期轻松学 二、填空题 三、解答题 5.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 7.在平行四边形ABCD中，M,N分别是 Ai=2D成，Ci=}ci1xC店，则x= DC,BC的中点，已知AM=c,AN=d,试 用c,d表示AB和AD 6.已知a=4,e为单位向量，它们的夹角 为，则向量a在向量e上的投影向量是 :向量e在向量