1.1.2 空间向量的数量积运算 精讲（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 重点：掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法； 难点：能用向量的数量积解决夹角与距离问题。 一、空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. 2、夹角的范围： 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 二、空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作， 即． 2、数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 三、求空间向量数量积的步骤 1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， 2、利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， 3、代入求解. 四、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 五、向量的投影 1、向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）。 2、向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 题型一 求空间向量的数量积 【例1】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（ ） A． B．0 C．1 D．不确定 【变式1-1】（2023秋·福建福州·高二铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 【变式1-3】（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________. 题型二 利用数量积求角度 【例2】（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·山东临沂·高二校考期末）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·广东阳江·高二统考期末）（多选）如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与的夹角是. D．异面直线与所成的角的余弦值为. 【变式2-4】（2020·高二课时练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 题型三 利用数量积求距离 【例3】（2023秋·高二课时练习）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A． B． C． D．4 【变式3-1】（2023春·高二课时练习）平行六面体中，，，则的长为（ ） A．10 B． C． D． 【变式3-2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（ ） A．2 B． C． D．